Certains des problèmes les plus importants du calcul différentiels sont ceux où le temps est la variable indépendante. Cela impose aussi de considérer d'un autre coté la quantité qui varie lorsque le temps varie. Certaines choses grandissent alors que d'autre rapetissent. La distance qu'un train a parcouru depuis son point de départ augmente avec le temps. Les arbres grandissent au fil des années, par exemple. On pourrait se poser la question de savoir quellle plante grandit le plus vite, une plante de $12$ pouces de hauteur qui grandit pour mesurer au bout d'un mois $14$ pouces, qu'une autre plante qui passerait de $12$ pieds à $14$ pieds en un an?
Dans ce chapitre, nous allons faire un usage presque abusif du mot taux (rate en anglais NDT, précision nécessaire pour la traduction qui suit). Quand on parle de taux rien à voir avec les "poor-rate" (voir https://en.wikipedia.org/wiki/Poor_rate NDT). Et s'ensuit un paragraphe qui présente toutes les expressions anglaises où le mot taux est utilisé sans l'être dans le sens mathématiques, comme ici.
Que veut-on donc dire par taux? Dans tous les cas on fait une comparaison mentale entre quelque chose qui se passe et le temps pris pour que cela se passe. Si une moto passe à coté de à une vitesse de $10$ yards par seconde, une simple opération arithmétique nous permet de calculer que - tant que le mouvement dure à cette vitesse - la vitesse est de $600$ yards par minute, ce qui fait en gros $20$ miles par heure.
Maintenant, en quoi est-il vrai de dire que se déplacer à $10$ yard par secondes ou $600$ yards par minute représente la même chose? Dix yards n'est pas la même chose que $600$ yards, pas plus qu'une seconde ne vaut une minute. Ce que l'on veut dire par taux est la même chose que dire que la proportion entre la distance parcourue et le temps passé est la même dans les deux cas.
Prenons un autre exemple. Un individu ayant quelques livres en sa possession pourrait dépenser son argent à un taux de millions de livres par an si tant est qu'il dépense tout son argent en quelques minutes. Supposez que vous payez un schilling dans un magasin pour un bien quelconque; et supposons que cette opération dure une seconde exactement. Alors, pendant cette opération, vous êttes en train de dépenser votre argent à un rythme de $1$ schilling par seconde, c'est aquivalent à £$3$ par minute, ou £$180$ livres par heures, soit £$4320$ livres par jour, ou encore £$1 576 800$ livres par an! Si vous avez £$10$ livres en poche, vous pouvez les dépenser au rythme d'un million par an si vous le faites en $5\frac{1}{4}$ minutes.
Utilisons les notation vue précédemment pour maintenant mettre ces idées sous la forme d'équations différentielles.
Disons que $y$ représente l'argent et $t$ le temps.
Si vous dépensez de l'argent, le montant dépensé pendant la courte période de temps $dt$ que l'on appellerai $dy$, alors le taux des dépenses serait $\dfrac{dy}{dt}$, ou plutôt devrait être écrit avec un signe négatif: $-\dfrac{dy}{dt}$, car $dy$ est une diminution, pas une augmentation. Mais l'argent n'est pas un très bon exemple pour le calcul différentiel. Généralement, les changements de valeurs se font par sauts, pas par une évolution continue. Il est possible de gagner £$200$ par an, mais ça ne vient pas en continu comme un courant d'argent qui coule dans votre compte. C'est reçu par mois, par semaine, ou encore trimestriellement et les dépense de même, chaque paiement est un montant retiré du compte.
Une illustration plus parlante de l'idée de ce que peut être un taux d'accroissement est de considérer la vitesse d'un objet en mouvement. La distance entre Londres (la station Euston) à Liverpool, fait $200$ miles. Si un train par tde Londres à $7$ heures pétante et rejoint Liverpool à $11$ heures exactement, alors on sait que si il a parcouru $200$ miles en $4$ heures, sa vitesse moyenne (la taux moyen auquel il s'est déplacé NDT = pour coller plus aux mots employés) est de $50$ miles à l'heure; car $\frac{200}{4} = \frac{50}{1}$. Ici vous êtes en train de réaliser une comparaison mentale entre la distanfce parcourue et le temps pris pour la franchir. On divise l'un par l'autre. Si $y$ est la distance totale et $t$ le temps total, alors clairement, le taux moyen de déplacement (vitesse moyenne) vaut clairement $\dfrac{y}{t}$. Maintenant disons que la vitesse n'était pas constante tout le long du chemin : au départ, ainsi qu'à l'arrivée lorsque le train freine. Il est aussi probable que dans certaines parties du trajet, en descendant d'une colline, la vitesse excède $60$ miles par heure. Si, durant n'importe quel franction de temps $dt$, la distance correspondante parcourue est $dy$, alors, à cet instant du voyage, la vitesse était de $\dfrac{dy}{dt}$. Le tauxauquel une des quantités varie (dans notre cas, la distance) change en relation avec une autre quantité (dans notre cas, le temps) est parfaitement décrit avec la relation entre les deux coefficients différentiels $dy$ et $dx$. La vélocité est, si on l'exprime scientifiquement, est le taux donné par le rapport entre une très petite distance selon une direction donnée est parcourue, ce qui permet d'écrire : \[ v = \dfrac{dy}{dt}. \]
MAis si la vélocité $v$ n'est pas uniforme, alors elle doit soit augementer soit diminuer. Le taux mesurant la croissance ou décroissance de la vitesse s'appelle l'accélération. Si un corps en mouvement, à n'importe quel instant, voit sa vitesse augmenter d'un petit $dv$ pendant un court temps $dt$, alors l'accélération à chaque instant $t$ peut s'écrire : \[ a = \dfrac{dv}{dt}; \] mais $dv$ lui-même vaut : $d\left( \dfrac{dy}{dt} \right)$. On peut donc écrire : \[ a = \frac{d\left( \dfrac{dy}{dt} \right)}{dt}; \] Ce qui s'écrit plus habituellement $a = \dfrac{d^2y}{dt^2}$; ou l'accélération est la dérivée seconde de la distance parcourue par rapport au temps. L'accélération est exprimée comme une variation de la vitesse en fonction du temps. Par exemple, un nombre de par seconde par seconde; la notation utilisée est $\text{feet} ÷ \text{second}^2$ ou plus récemment $\text{m} / \text{s}^2$ ($= \text{m}.\text{s}^{-2}$).
Quand un train commence à se déplacer, sa vitesse $v$ est petite; mais lle augmente rapidement. Le train accélère grâce à l'effort fourni par la locomotive. Donc son $\dfrac{d^2y}{dt^2}$ est relativement grande. Lorsque le train arrive à sa vitesse de croisière, alors il n'accélère plus. Donc la valeur de $\dfrac{d^2y}{dt^2}$ tombe à zéro. MAis lorsqu'il approche sa destination, alors sa vitesse doit commencer à décrître; pour ne pas dire décroître très rapidement, Ce qu'il se passe quand on freine. Pendant cette période de décélération, de ralentissement, la valeur de $\dfrac{dv}{dt}$, qui est aussi $\dfrac{d^2y}{dt^2}$ sera négative.
application of force. The force necessary to acceleratePour accélerer une masse $m$ nécessite de lui appliquer continuellement une force. La force nécessaire à cette accélération est proportionnelle à la masse et aussi à l'accélération que l'on veut lui donner. On peut donc écrire que pour la force $f$, on a l'expression : \begin{align*} f &= ma;\\ \end{align*} ou \begin{align*} f &= m \frac{dv}{dt}; \\ \end{align*} ou \begin{align*} f &= m \frac{d^2y}{dt^2}. \end{align*}
Le produit de la masse par la vitesse est ce qu'on appelle la quantité de mouvement, momentum en anglais, dont le symbole est $mv$ (on dit aussi $p=mv$ NDT). Si on dérive la quantité de mouvement par rapport au temps, on obtient : $\dfrac{d(mv)}{dt}$ comme taux de changement de la quantité de mouvement. Ce qui petu s'écrire $m \dfrac{dv}{dt}$, qui est la même chose qu'une expression de la force $f$ cmme vu au dessus. Ceci dit, la force peut être exprimée soit par la masse fois l'accélération, soit comme le taux auquel varie la quantité de mouvement.
A nouveau, si une force est appliquée sur quelque chose dans le but de la faire bouger (contre une force opposée égale), il en résulte un travail; la valeur du travail produit est donnée par le produit de la force par la distance (avec sa propre direction) parcourue par le point d'application de la force sur l'objet. Donc si une force $f$ se déplace sur une longueur $y$, on obtient le travail de la force sur la distance que l'on appelle $w$, s'exprimant comme suit : \[ w = f × y; \] où $f$ est une force constante. Si la force varie selon les valeurs de $y$, nous devons alors trouver une expression pour avoir ses valeurs d'un point à un autre et alors nous devons trouver une expression pour donner ses valeurs du début à la fin du parcours. Si $f$ est la force appliquée sur chaque petit élément du parcours $dy$, le travail résultant de cette force sur cette petite portion sera $f × dy$. Mais comme $dy$ est un petit élément de distance, alors le travail résultant sera une petite portion de travail. Si on écrit $w$ pour le travail alors ce petit élément s'appellera $dw$; et nous avons : \begin{align*} dw &= f × dy; \\ \end{align*} qui peut être écrit : \begin{align*} dw &= ma·dy; \\ \text{ or}\; dw &= m \frac{d^2y}{dt^2}· dy; \\ \text{or}\; dw &= m \frac{dv}{dt}· dy. \\ \end{align*} Pour pousser plus loin, on peut transposer l'équation et écrire : \begin{align*} \frac{dw}{dy} &= f. \end{align*}
Tout cela nous donne un troisième manière d'exprimer la force; si elle est utilisée pour produire un déplacement dans n'importe quel direction, la force (dans cette direction) est donnée par le taux de travail fourni par unité de longueur dans la direction du dpélacmeent. Dans cette dernière phrase, le taux ne désigne pas un rapport où le temps rentre en jeu, mais simplement une proportion.
Sir Isaac Newton, un des inventeurs (tout comme Leibniz) du calcul différentiel, regardait les quantité qui variaient (les variables) comme des courants, flowing en anglais; Et le ratio que nous appelons maintenant coefficient différentiel, il les regardait comme des rapports de courants, ou la fluxion (on peut dire calcul fluxionnel pour calcul différentiel) des quantité en question. Newton n'utilisait pas les notations $dy$ et $dx$ (elles sont dues à Leibniz), il en utilisait une autre qu'il avait créée. Si $y$ est la quantité qui varie, ou “coule,” alors le symbole pour sa dérivée, son coefficient différentiel (ou “fluxion”) est $\dot{y}$. Si $x$ est la variable, alors sa fluxion était appelée $\dot{x}$. Le point au dessus de la lettre indique qu'elle a été dérivée (différentiée). Mais cette notation ne nous dit pas quelle est la variable indépendante par rapport à la quelle l'expression $x$ est dérivée. Quand on voit $\dfrac{dy}{dt}$ on sait que $y$ doit être dérivée par rapport à $t$. Si on voit $\dfrac{dy}{dx}$ on sait que la différentielle de $y$ est déterlminée par rapport à $x$. Mais en ovyant un vague $\dot{y}$, il n'est pas possible de dire par rapport à quoi on dérive sans le contexte, que ce soit $\dfrac{dy}{dx}$ ou $\dfrac{dy}{dt}$ ou $\dfrac{dy}{dz}$, ou encore un autre variable. Cette notation fluxionnelle contient moins d'informations que la notation différentielle, par conséquent son utilisation a été largement délaissée au profit de l'autre. Toutefois sa simplicité est assez avantageuse. Il faut seulement s'accorder sur le fait que si on utilise cette notation, la variable indépendante est forcément le temps $t$. Dans ce cas, $\dot{y}$ signifiera $\dfrac{dy}{dt}$ et $\dot{u}$ vaudra $\dfrac{du}{dt}$; et $\ddot{x}$ voudra dire $\dfrac{d^2x}{dt^2}$.
Si on adopte cette notation fluxionnelle, on peut réécrire les équations issues de la mécanique ci-dessus comme suit :
| Distance | $x$ |
| Velocité | $v = \dot{x}$ |
| Accélération | $a = \dot{v} = \ddot{x}$ |
| Force | $f = m\dot{v} = m\ddot{x}$ |
| Travail | $w = x × m \ddot{x}$ |
Exemples (1) Un corps se déplace de manière à ce que la distance $x$ (en pieds), à partir d'un point $O$ selon la relation $x = 0.2t^2 + 10.4$, où $t$ désigne le temps écoulé en secondes depuis un certain instant. Trouver la vitesse et l'accélération $5$ secondes après que le corps ne se soit mis en mouvement. Trouver aussi les valeurs correspondantes lorsque la distance parcourue est $100$ pieds. Trouver aussi la vitesse moyenne durant les dix premières secondes du mouvement. (On suppose les distances et le mouvement étant positifs si ils vont vers la droite.) Alors, maintenant : \[ x = 0.2t^2 + 10.4 \\ v = \dot{x} = \frac{dx}{dt} = 0.4t; \] et \[ a = \ddot{x} = \frac{d^2x}{dt^2} = 0.4 = \text{constant.} \] $a$ est une constante.
Quand $t = 0$, $x = 10.4$ et $v = 0$. Le corps commence à se mouvoir à partir d'un certain point, placé à $10.4$ pieds à la droite du poind $O$; et le temps passé démarre à partir de l'instna toù le corps commenc eà bouger.
Quand $t = 5$, $v = 0.4 × 5 = 2 \text{ft./sec.}$; $a = 0.4 \text{ft./sec}^2$.
Quand $x = 100$, $100 = 0.2t^2 + 10.4$, ou $t^2 = 448$, et $t = 21.17 \text{sec.}$; $v = 0.4 × 21.17 = 8.468 \text{ft./sec.}$
Quand $t = 10$, \begin{gather*} \text{Distance parcourue} = 0.2 × 10^2 + 10.4 - 10.4 = 20 \text{ft.} \\ \text{Vitesse moyenne} = \tfrac{20}{10} = 2 \text{ft./sec.} \end{gather*}
(C'est la même vitesse que celle au milieu de l'intervalle, $t = 5$; pour une accélération constante, la vitesse varie uniformément depuis zéro, $t=0$ à $4 \text{ft./sec.}$ quand $t = 10$.)
(2) Dans le problème au dessus, supposons que : \begin{gather*} x = 0.2t^2 + 3t + 10.4.\\ v = \dot{x} = \dfrac{dx}{dt} = 0.4t + 3;\quad a = \ddot{x} = \frac{d^2x}{dt^2} = 0.4 = \text{constante}. \end{gather*}
Quand $t = 0$, $x = 10.4$ et $v = 3$ ft./sec, le temps est décompté depuis l'instant où le corps dépasse le point à $10.4$ ft. du point $O$, sa vitesse valant déja $3$ ft./sec. Pour trouver le temps passé entre le moment où le corps à commencé à se déplacer, soit $v=0$; alors $0.4t + 3 = 0$, $t= -\frac{3}{.4} = -7.5$ sec. Le corps a commencé à se mouvoir $7.5$ sec. avant que le temps commence à être compté; $5$ secondes après ceci donne $t = -2.5$ et $v = 0.4 × -2.5 + 3 = 2$ ft./sec.
Quand $x = 100$ ft., \[ 100 = 0.2t^2 + 3t + 10.4;\quad \text{or } t^2 + 15t - 448 = 0; \] donc $t = 14.95$ sec., $v = 0.4 × 14.95 + 3 = 8.98$ ft./sec.
Pour trouver la ditance parcourue pendant les dix premières seconde du mouvement, on doit tout d'abord savoir à quelle distance était le corps du point $O$ quand il a commencé à se déplacer.
Quand $t = -7.5$, \[ x = 0.2 × (-7.5)^2 - 3 × 7.5 + 10.4 = -0.85 \text{ft}., \] ce qui est $0.85$ ft. à gauche du point $O$.
Maintenant quand $t = 2.5$, \[ x = 0.2 × 2.5^2 + 3 × 2.5 + 10.4 = 19.15. \]
Donc, dans $10$ secondes, la distance parcourue était de $19.15 + 0.85 = 20$ ft., et : \[ \text{the average velocity } = \tfrac{20}{10} = 2 \text{ ft./sec}. \]
(3) Considérons un problème similaire quand la distance parcourue est données par $x = 0.2t^2 - 3t + 10.4$. alors $v = 0.4t - 3$, $a = 0.4 $ est une constante. Quand $t = 0$, $x = 10.4$ comme avant, et $v = -3$; ainsi le corps était en train de se déplacer dans la direction opposée au mouvement du cas précédent. L'accélération positive fait que la vitesse va décroître avec le temps, jusqu'à devenir nulle. Quand $v=0$ ou $0.4t - 3 = 0$; ou $t = 7.5$ sec.Après cela, la vitesse devient positivve; et $5$ secondes après que le corps n'ait commencé à se déplacer, à $t = 12.5$, et : \[ v = 0.4 \times 12.5 - 3 = 2 \text{ ft./sec}. \]
Quand $x = 100$, \[ 100 = 0.2t^2 - 3t + 10.4,\quad \text{ou } t^2 - 15t - 448 = 0, \\ \] et \text{and}\; \[ t = 29.95;\ v = 0.4 \times 29.95 - 3 = 8.98 \text{ft./sec.} \]
Quand $v$ vaut zéero, $x = 0.2 \times 7.5^2 - 3 \times 7.5 + 10.4 = -0.85$, nous disant que le corps retourne en $0.85$. ft. au delà du point $O$ avant qu'il ne s'arrête. Dix secondes plus tard $t = 17.5$ et : \[ x = 0.2 \times 17.5^2 - 3 \times 17.5 + 10.4 = 19.15. \] La distance parcourue vaut $d$, $d = .85 + 19.15 = 20.0$, et la vitesse moyenne est encore de $2$ ft./sec.
(4) Consiérons encore un autre problème du même genre, avec $x = 0.2t^3 - 3t^2 + 10.4$; $v = 0.6t^2 - 6t$; $a = 1.2t - 6$. L'accélération n'est plus constante.
Quand $t = 0$, $x = 10.4$, $v = 0$, $a = -6$. Le corps est au repos, mais juste prêt à bouger, avec une accélération négative, qui lui permettra de gagner de la vitesse à partir du point $O$.
(5) Si nous avons $x = 0.2t^3 - 3t + 10.4$, alors $v = 0.6t^2 - 3$, et $a = 1.2t$.
Quand $t = 0$, $x = 10.4$; $v = -3$; $a = 0$.
Le corps passe par le point $O$ avec une vitesse de $3$ ft./sec., et seulement à cet instant la vitesse est uniforme.
On voit que les caractéristiques du mouvement sont données par l'équation distance-temps et ses dérivées première et seconde. Dans les deux derniers cas, la vitesse moyenne durant les $10$ premières secondes et la vitesse $5$ secondes après le départ ne seront plus égales, la vitesse ne va pas croître indéfiniment et l'accélération n'est plus constante.
(6) L'angle $\theta$ (en radians) indiquant la rotation d'une roue est donné par la relation $\theta = 3 + 2t - 0.1t^3$, où $t$ est le temps en secondes écoulé depuis un certain instant ; Trouver la vitesse angulaires $\omega$ et l'accélération angulaires $alpha$, (a ) après $1$ seconde ; (b ) après que la roue ait fait un tour. A quel instant s'arrête elle et combien de révolutions ont été réalisées depuis cet instant.
Trouvons l'accélération \[ \omega = \dot{\theta} = \dfrac{d\theta}{dt} = 2 - 0.3t^2,\quad \alpha = \ddot{\theta} = \dfrac{d^2\theta}{dt^2} = -0.6t. \]
Quanb $t = 0$, $\theta = 3$; $\omega = 2$ rad./sec.; $\alpha = 0$.
Quand $t = 1$, \[ \omega = 2 - 0.3 = 1.7 \text{rad./sec.};\quad \alpha = -0.6 \text{rad./sec}^2. \]
Une accélération négative signifie que la roue ralenti.
Après $1$ révolution \[ \theta = 2\pi = 6.28;\quad 6.28 = 3 + 2t - 0.1t^3. \]
En traçant le graphique $\theta = 3 + 2t - 0.1t^3$, on peut avoir les valeurs de $t$ pour lesquelles $\theta = 6.28$; ontrouve $2.11$ et $3.03$ (et une troisième valeur négative).
Quand $t = 2.11$, \begin{gather*} \theta = 6.28;\quad\omega = 2 - 1.34 = 0.66 \text{ rad./sec.}; \\ \alpha = -1.27 \text{ rad./sec}^2. \\ \end{gather*} Quand $t = 3.03$, \begin{gather*} \theta = 6.28;\quad \omega = 2 - 2.754 = -0.754 \text{ rad./sec.}; \\ \alpha = -1.82 \text{ rad./sec}^2. \end{gather*}
La vitesse est inversée. La roue est évidemment au repos entre ces deux instants ; elle est au repos quand $\omega = 0$, qui arrive quand $0 = 2 - 0.3t^3$, ou quand $t = 2.58 \text{sec.}$ et elle a fait : \[ \frac{\theta}{2\pi} = \frac{3 + 2 \times 2.58 - 0.1 \times 2.58^3}{6.28} = 1.025 \text{ révolutions}. \]
(1) Si $y = a + bt^2 + ct^4$; trouver $\dfrac{dy}{dt}$ et $\dfrac{d^2y}{dt^2}$.
Rép. $\dfrac{dy}{dt} = 2bt + 4ct^3$; $\dfrac{d^2y}{dt^2} = 2b + 12ct^2$.
(2) Un corps en chute libre das l'espace décrit en $t$ secondes un espace $s$, en pieds, exprimé par l'équation $s = 16t^2$. Dessiner la courbe donnant la relation entre $s$ et $t$. Détermioner la vitesse du corps aux instant suivants (à partir du début de sa chute) : $t = 2$ secondes; $t = 4.6$ secondes; $t = 0.01$ seconde.
(3) Si $x = at - \frac{1}{2}gt^2$; trouvez $\dot{x}$ et $\ddot{x}$.
(4)Si un corps se déplace selon la loi : \[ s = 12 - 4.5t + 6.2t^2, \] trouver sa vitesse quand $t = 4$ secondes; $s$ étant en pieds.
(5) Trouver l'accélération subie par le corps dans le cas précédent. L'accélération est elle la même pour toutes les valeurs de $t$?
(6) L'angle $\theta$ (en radians) augmente selon la révolution d'une roue est lié au temps $t$ (en secondes) qui s'est passsé depuis le début du mouvement ; par la loi \[ \theta = 2.1 - 3.2t + 4.8t^2. \]
Trouver la vitesse angulaire en radians par seconde de la roue quand $1\frac{1}{2}$ secondes est passée. Trouver aussi l'accélération agulaire.
(7) Une luge bouge de telle manière que, durant la première partie de son mouvement, la distance parcourue depuis le départ est donnée par l'expression : \[ s = 6.8t^3 - 10.8t;\quad\text{$t$ being in seconds}. \]
Exprimer la vitesse et l'accélération quel que soit $t$ ; puis trouver la valeur de la vitesse et de l'accélértion après $3$ secondes.
(8) Le mouvement d'un ballon ascentionnel est tel que sa hauteur $h$, en miles, est donnée à chaque instant par l'expression : $h = 0.5 + \frac{1}{10}\sqrt[3]{t-125}$; $t$ étant en secondes.
Trouver l'expression pour la vitesse et l'accélération quel que soit $t$. Dessiner la courbe pour montrer la variation de hauteur, la vitesse et l'accélération durant les dix premières minutes de l'ascension.
(9) Une pierre est jetée dans l'eau. La profondeur atteinte $p$ en mètresà chaque instant $t$, après qu'il ait touché la surface de l'eau est donné par la relation : \[ p = \frac{4}{4+t^2} + 0.8t - 1. \]
Exprimez la vitesse et l'accélération à tout instant. Trouver la vitesse et l'accélération après $10$ secondes.
(10) Un corps se déplace de telle manière que opour un temps $t$, il parcourt $s = t^n$, où $n$ est une constante. Trouver la valeur de $n$ telle que la vitesse double entre la $5$ème et $10$ème seconde ; trouver aussi quand la valeur numérique de la vitesse vaut celle de l'accélération à la fin de la dixième seconde.
(2) 64; 147.2; and 0.32 pieds par seconde.
(3) $x = a - gt$; $\ddot{x} = -g$.
(4) $45.1$ pieds par seconde.
(5) $12.4$ pieds par seconde par seconde. Oui.
(6) Vitesse angulaire ${} = 11.2$ radians par seconde; accélartion angulaire ${}= 9.6$ radians par seconde par seconde.
(7) $v = 20.4t^2 - 10.8$. $a = 40.8t$. $172.8$ in./sec., $122.4 \text{in./sec}^2$.
(8) $v = \dfrac{1}{30 \sqrt[3]{(t - 125)^2}}$, $a = - \dfrac{1}{45 \sqrt[3]{(t - 125)^5}}$.
(9) $v = 0.8 - \dfrac{8t}{(4 + t^2)^2}$, $a = \dfrac{24t^2 - 32}{(4 + t^2)^3}$, $0.7926$ and $0.00211$.
(10) $n = 2$, $n = 11$.