Les polynômes, présentation complète

Des premières définitions aux espaces vectoriels

Lycée / Supérieur
Table des matières
  1. Espaces vectoriels de polynômes
    1. Structure d'espace vectoriel
    2. Bases et dimension
    3. Applications linéaires
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Chapitre 6

Espaces vectoriels de polynômes

Nous arrivons au cœur de l'algèbre linéaire appliquée aux polynômes. Cette vision structure l'ensemble \(\mathbb{R}[x]\) — et ses sous-espaces — en tant qu'objets géométriques munis d'une notion de dimension.

6.1 Structure d'espace vectoriel

Définition — Espace vectoriel \(\mathbb{R}[x]\) L'ensemble \(\mathbb{R}[x]\) muni de l'addition des polynômes et de la multiplication par un scalaire réel est un espace vectoriel sur \(\mathbb{R}\).

Les axiomes sont vérifiés :
  • Associativité et commutativité de l'addition ✓
  • Élément neutre : le polynôme nul \(0\) ✓
  • Opposé : \(-P\) ✓
  • Distributivité du scalaire sur les vecteurs et les scalaires ✓
Cet espace est de dimension infinie : la famille \((1, x, x^2, x^3, \ldots)\) est une base infinie (dénombrable).
Définition — Sous-espace \(\mathbb{R}_n[x]\) Pour \(n \in \mathbb{N}\), on note \(\mathbb{R}_n[x]\) l'ensemble des polynômes de degré inférieur ou égal à \(n\) :
\[ \mathbb{R}_n[x] = \{P \in \mathbb{R}[x] \mid \deg(P) \leq n \text{ ou } P = 0\} \]
C'est un sous-espace vectoriel de \(\mathbb{R}[x]\) de dimension \(n + 1\).
Attention L'ensemble des polynômes de degré exactement \(n\) n'est pas un sous-espace vectoriel (il ne contient pas le polynôme nul, et n'est pas stable par addition : \((x^2 + 1) + (-x^2 + 1) = 2\) est de degré 0).

6.2 Bases et dimension

Théorème — Base canonique de \(\mathbb{R}_n[x]\) La famille \(\mathcal{B} = (1,\; x,\; x^2,\; \ldots,\; x^n)\) est une base de \(\mathbb{R}_n[x]\).

En particulier : \(\dim(\mathbb{R}_n[x]) = n + 1\).

Tout polynôme \(P \in \mathbb{R}_n[x]\) s'écrit de façon unique :
\[ P = a_0 \cdot 1 + a_1 \cdot x + \cdots + a_n \cdot x^n \]
et les coordonnées de \(P\) dans \(\mathcal{B}\) sont \((a_0, a_1, \ldots, a_n) \in \mathbb{R}^{n+1}\).
Proposition — Autres bases de \(\mathbb{R}_n[x]\) On peut aussi choisir d'autres bases, particulièrement utiles selon le contexte :
  • Base de Newton : \(\bigl(1,\; (x-a),\; (x-a)^2,\; \ldots,\; (x-a)^n\bigr)\) — utile pour le développement de Taylor en \(a\).
  • Base de Lagrange : pour des nœuds \(x_0, \ldots, x_n\) distincts, les polynômes de Lagrange \(L_i(x) = \prod_{j \neq i} \dfrac{x - x_j}{x_i - x_j}\) forment une base — utile pour l'interpolation.
  • Base de Bernstein : \(B_{k,n}(x) = \binom{n}{k} x^k (1-x)^{n-k}\) — utilisée en infographie (courbes de Bézier).
Exemple — Coordonnées dans une autre base Exprimer \(P(x) = x^2 + 2x - 3\) dans la base de Newton \(\mathcal{N} = (1,\; x-1,\; (x-1)^2)\) de \(\mathbb{R}_2[x]\).

On cherche \(\alpha, \beta, \gamma\) tels que \(P(x) = \alpha + \beta(x-1) + \gamma(x-1)^2\).
Par la formule de Taylor en \(a = 1\) :
\begin{align} \alpha &= P(1) = 1 + 2 - 3 = 0\\ \beta &= P'(1) = (2x+2)\big|_{x=1} = 4\\ \gamma &= \frac{P''(1)}{2} = \frac{2}{2} = 1 \end{align}
Donc \(P(x) = 4(x-1) + (x-1)^2\), et les coordonnées dans \(\mathcal{N}\) sont \((0, 4, 1)\).

6.3 Applications linéaires sur \(\mathbb{R}_n[x]\)

Définition — Application linéaire Une application \(f : \mathbb{R}_n[x] \to \mathbb{R}_m[x]\) est linéaire si :
\[ f(\lambda P + \mu Q) = \lambda f(P) + \mu f(Q) \quad \forall \lambda, \mu \in \mathbb{R},\; P, Q \in \mathbb{R}_n[x] \]
Exemples fondamentaux d'applications linéaires
  • Dérivation \(D : \mathbb{R}_n[x] \to \mathbb{R}_{n-1}[x]\), \(P \mapsto P'\) — linéaire, surjective, non injective (noyau = \(\mathbb{R}_0[x]\)).
  • Multiplication par \(x\) : \(M_x : \mathbb{R}_n[x] \to \mathbb{R}_{n+1}[x]\), \(P \mapsto xP\) — linéaire et injective.
  • Évaluation en \(a\) : \(\text{ev}_a : \mathbb{R}_n[x] \to \mathbb{R}\), \(P \mapsto P(a)\) — linéaire (forme linéaire).
  • Intégration : \(I : \mathbb{R}_n[x] \to \mathbb{R}_{n+1}[x]\), \(P \mapsto \int_0^x P(t)\,dt\) — linéaire et injective.
Théorème — Matrice de la dérivation dans la base canonique Dans la base canonique \((1, x, x^2, \ldots, x^n)\) de \(\mathbb{R}_n[x]\) et \((1, x, \ldots, x^{n-1})\) de \(\mathbb{R}_{n-1}[x]\), la matrice de l'opérateur de dérivation \(D\) est :
\[ [D]_{\mathcal{B}} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & \cdots & 0\\ 0 & 0 & 2 & \cdots & 0\\ \vdots & & \ddots & \ddots & \vdots\\ 0 & 0 & \cdots & 0 & n\\ \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_{n \times (n+1)}(\mathbb{R}) \]
Car \(D(x^k) = k\,x^{k-1}\) a pour coordonnées \((\underbrace{0,\ldots,0}_{k-1}, k, 0,\ldots)\).
Exemple — Matrice de \(D\) sur \(\mathbb{R}_3[x]\) On dérive chaque vecteur de base :
\begin{align} D(1) &= 0 = 0\cdot 1 + 0\cdot x + 0\cdot x^2\\ D(x) &= 1 = 1\cdot 1 + 0\cdot x + 0\cdot x^2\\ D(x^2) &= 2x = 0\cdot 1 + 2\cdot x + 0\cdot x^2\\ D(x^3) &= 3x^2 = 0\cdot 1 + 0\cdot x + 3\cdot x^2 \end{align}
\[ [D] = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{pmatrix} \]
Exercice 6.1

Vérifier la structure de sous-espace vectoriel

Montrer que \(E = \{P \in \mathbb{R}_3[x] \mid P(1) = 0\}\) est un sous-espace vectoriel de \(\mathbb{R}_3[x]\), puis en trouver une base et sa dimension.

Voir la correction
1. Vérification des axiomes • \(P = 0\) : \(0(1) = 0\) ✓, donc \(0 \in E\). • Stabilité par addition : si \(P(1) = 0\) et \(Q(1) = 0\), alors \((P+Q)(1) = 0\) ✓. • Stabilité par scalaire : \((\lambda P)(1) = \lambda P(1) = 0\) ✓. Donc \(E\) est bien un s.e.v. (ou : \(E = \ker(\text{ev}_1)\), noyau d'une appli. linéaire). 2. Description des éléments \(P \in E \iff (x-1) \mid P \iff P(x) = (x-1)Q(x)\) avec \(Q \in \mathbb{R}_2[x]\). Donc : \(P(x) = (x-1)(ax^2 + bx + c) = a(x-1)x^2 + b(x-1)x + c(x-1)\). 3. Base et dimension Une base de \(E\) est \(\mathcal{B}_E = \bigl((x-1),\; x(x-1),\; x^2(x-1)\bigr)\). \(\dim(E) = 3 = \dim(\mathbb{R}_3[x]) - 1 = 4 - 1\) (cohérent avec le théorème du rang).
Exercice 6.2

Matrice d'une application linéaire — Interpolation

On considère l'application \(\varphi : \mathbb{R}_2[x] \to \mathbb{R}^3\) définie par \(\varphi(P) = (P(0),\, P(1),\, P(2))\).

  1. Montrer que \(\varphi\) est linéaire.
  2. Écrire la matrice de \(\varphi\) dans la base canonique \((1, x, x^2)\) de \(\mathbb{R}_2[x]\) et la base canonique de \(\mathbb{R}^3\).
  3. Montrer que \(\varphi\) est un isomorphisme.
Voir la correction
1. Linéarité \(\varphi(\lambda P + \mu Q) = ((\lambda P + \mu Q)(0), \ldots) = \lambda(P(0),\ldots) + \mu(Q(0),\ldots) = \lambda\varphi(P) + \mu\varphi(Q)\) ✓ 2. Matrice — images des vecteurs de base \(\varphi(1) = (1,1,1)\) \(\varphi(x) = (0,1,2)\) \(\varphi(x^2) = (0,1,4)\) Matrice (colonnes = images des vecteurs de base) : \([\ \varphi\ ] = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 4 \end{pmatrix}\) 3. Isomorphisme \(\det = 1(4-2) - 0 + 0 = 2 \neq 0\) : la matrice est inversible. Donc \(\varphi\) est bijective, c'est un isomorphisme. Interprétation : tout triplet de valeurs \((y_0, y_1, y_2)\) est atteint par un unique polynôme de degré \(\leq 2\) — c'est le théorème d'interpolation de Lagrange.
Exercice 6.3 — Synthèse

Noyau et image de la dérivation

On considère \(D : \mathbb{R}_3[x] \to \mathbb{R}_3[x]\), \(P \mapsto P'\) (en convenant que \(\deg(P') \leq 2 \leq 3\)).

  1. Déterminer \(\ker(D)\) et \(\text{Im}(D)\).
  2. Vérifier le théorème du rang.
  3. L'application \(D\) est-elle injective ? surjective ?
Voir la correction
1. Noyau et image \(\ker(D) = \{P \mid P' = 0\} = \mathbb{R}_0[x] = \{P \text{ constants}\}\), de dimension 1. \(\text{Im}(D) = \{P' \mid P \in \mathbb{R}_3[x]\} = \mathbb{R}_2[x]\) (tout polynôme de degré \(\leq 2\) est dérivée d'un polynôme de degré \(\leq 3\)), de dimension 3. 2. Théorème du rang \(\dim(\ker D) + \dim(\text{Im } D) = 1 + 3 = 4 = \dim(\mathbb{R}_3[x])\) ✓ 3. Injectivité / surjectivité Non injective : \(\ker(D) \neq \{0\}\) (les constantes non nulles ont une dérivée nulle). Non surjective sur \(\mathbb{R}_3[x]\) : \(\text{Im}(D) = \mathbb{R}_2[x] \subsetneq \mathbb{R}_3[x]\) (les polynômes de degré 3 ne sont pas atteints).
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