Introduction aux équations

Les équations

Généralités

La résolution d'un équation est une étape dans le travail qui consiste à travailler sur les équations pour trouver au moins une valeurs qui stisfasse l'équation. Une autre étape, plus en amont, est celle de la mise en équation. Autrement dit la modélisation. Et entre les deux on verra que souvent se pose la question de savoir si l'équation est bien posée.

Une équation est une phrase mathématiques dans laquelle une information est inconnue et la structure de la phrase permet de déduire la valeur de l'inconnue et par conséquent résoudre le problème modélisé.

Par exemple, imaginez une quantité. On sait que cette quantité vaut sa moitié plus un. La question posée est de savoir comment on écrit ces informations en maths et comment la résoudre, si tant est que l'on puisse .

Tentons de répondre à la question de savoir si il existe une quantité qui vaut sa moitié plus un. Avant le calcul littéral, on pratiquait les maths par l'algèbre rhétorique. A sacvoir, tout était posé en texte pur.

Cette quantité appelons la $x$. Cette quantité vaut quelque chose donc on sait qu'on pourra écrire $ x = $ à quoi? A sa moitié plus un. Sa moitié s'écrit $x/2$ ou $\dfrac{1}{2} \times x$ et $+1$ n'est pas la partie la plus compliquée de l'équation. On obtient donc : $$ x = \dfrac{1}{2} \times x +1 $$ Ce qui donne: $$ x - \dfrac{1}{2} \times x = 1 $$ $$ \dfrac{1}{2} \times x = 1 $$ Ce qui donne $$ x = 2 $$ En multipliant chaque coté de l'égalité par deux.

On verra en détail tant la méthode de résolution des équations que de les poser selon les problèmes posés.

Méthode de résolution

Equation du premier degré à une inconnue

On part du principe qu'on obtient une équation du type $ax+b=0$.

Le terme à gauche de l'égalité est composé de deux membres: $ax$ et $b$. L'idée est d'obtenir la valeur de $x$. Pour ce faire :

On doit isoler le $x$, à savoir, "enlever" les nombre $a$ et $b$. quand on a $ax+b=0$ la méthode est de passer les constantes à droite. De cette manière on a petit à petit la valeur de $x$ qui arrive.

Première étape : on fait passer le $b$ à droite, en ajoutant de chaque coté la valeur $-b$. On peut aussi dire que l' on retranche $b$ de chaque coté: $$ ax +b = 0 \implies ax + b -b = -b \implies ax = - b $$

Deuxième étape : il faut maintenant "enlever" le nombre $a$ au $x$ dans le membre de gauche. Pour ce faire, la technique officelle est de multiplier par l'inverse de $a$ des deux cotés du signe égal : $$ \dfrac{1}{a} \times ax = \dfrac{1}{a} \times (- b) \implies x = \dfrac{1}{a} \times (- b) ; a \not 0. $$

Ces deux étapes représentent la méthode de résolution d'une équation du premier degré à une inconnue.

Cas général pour une équation quelconque

Toujours pour une inconnue, les équations sont rarement présentées sous la forme canonique $ax+b=0$. En général on dispose d'une expression en $x$ sur laquelle on doit travailler pour en arriver au final à l'expression canonique d'une équation. Commençons par un exemple simple, résoudre : $$ 2x+3=7x+8 $$ Pour ce faire, on doit faire passer tous les $x$ du coté gauche de l'égalité et toutes les constantes du coté droit. On obtient alors : $$ -7x+2x=-3+8 \implies -5x = 5 $$ Maintenant on a le nombre $-5$ devant le $x$ duquel on doit se séparer en le faisant passer de l'autre coté: $$ -5x = 5 \implies \dfrac{1}{-5}.(-5x) = \dfrac{1}{-5}5 \implies x = -1. $$

Quelques exercices