On a précédemment vu les formules du produit scalaire :
$\vec{u} .\vec{v} = x_{u}.x_{v}+y_{u}.y_{v}$ du point de vue des coordonnées.et : $\vec{u} .\vec{v} = \|\vec{u}\|.\|\vec{v}\|.\cos (\vec{u};\vec{v})$ .
Soient deux vecteurs quelconques, $\vec{u}$ et $\vec{v}$ par exemple. Leur produit scalaire vaut donc : $$ \vec{u} .\vec{v} = \|\vec{u}\|.\|\vec{v}\|.\cos (\vec{u};\vec{v}).$ $$
Divisons maintenant ces deux vecteurs par leur norme et calculons à nouveau leur produit scalaire. $$ \dfrac{\vec{u}}{\|\vec{u}\|}.\dfrac{\vec{v}}{\|\vec{v}\|} = \dfrac{\|\vec{u}\|}{\|\vec{u}\|}.\dfrac{\|\vec{v}\|}{\|\vec{v}\|}.\cos(\vec{u};\vec{v}) $$
$$ \dfrac{\vec{u}}{\|\vec{u}\|}.\dfrac{\vec{v}}{\|\vec{v}\|} = \cos(\vec{u};\vec{v}) $$ par simplification.
La valeur du $\cos$ étant comprise entre $-1$ et $1$, la valeur du $cosinus$ de l'angle que forme les deux vecteurs permet d'avoir une indication sur la position des vecteurs l'un par rapport à l'autre.
Si $\cos(\vec{u};\vec{v}) = 1$ alors les deux vecteurs sont colinéaires. L'angle tel que son $cosinus$ valle $1$ est l'angle $0 rad$.
Si $\cos(\vec{u};\vec{v}) = -1$ alors les deux vecteurs sont colinéaires mais de sens opposé. L'angle tel que son $cosinus$ valle $-1$ est l'angle $\pi$.
Si $\cos(\vec{u};\vec{v}) = 0$ alors les deux vecteurs sont orthogonaux. Un autre mot pour dire perpendiculaire. L'angle tel que son $cosinus$ valle $0$ est l'angle $\pi/2$.
Pour vérifier si des éléments d'un espace sont perpendiculaires, on utilise quasiment systématiquement le produit scalaire. Si tant est qu'on puisse le calculer.