Il existe plusieurs manière de caractériser le plan. On en voit une souvent, sous la forme " Soit le plan $\mathbb{R}^{2}$", "Dans $\mathbb{R}^{2}$ ", ... Cette signification peut paraître abstraite, alors qu'elle ne fait que représenter mathématiquement un espace de dimension deux que l'on peut assimiler au plan.
$\mathbb{R}$
Tout d'abord considérons l'ensemble des réèls $\mathbb{R}$. Cet ensemble de nombre est supposé continu. Autrement dit, il n'y a pas de trous. On peut donc représenter cet ensemble par une droite comme ceci :
Où l'on peut placer tout nombre de cet espace:
On représente ici approximativement $\pi$, $e$, $\sqrt{2}$ et $-2$, cités par ordre décroisssant.
$\mathbb{R}$ peut donc être représenté par une droite sur laquelle on peut définir un repère. On définit le vecteur $\vec{i}$ de norme $1$, orienté vers les valeurs positives, dont la direction est cette droite des réèls.
$\mathbb{R}^{2}$
$\mathbb{R}^{2}$, un des noms mathématiques du plan.
Présentation
Le système de coordonnées cartésiennes permet de d'obtenir dans le plan un point unique à l'aide de deux informations. Le plan est un "espace" à deux dimensions, donc deux informations sont nécessaires et suffisantes pour identifier uniquement un point du plan.
Représentation
Cette figure :
Dans cette figure, on observe
un repère, donné par les axes $(Ox)$ et $(Oy)$,
le point $O$, l'origine du repère,
le point $M$ du plan,
$x_{M}$ l'abscisse du point $M$,
$y_{M}$ son ordonnée,
la représentation du vecteur $\overrightarrow{OM}$.
On dispose donc des coordonnées du point $M$ :
$$
M = (x_{M};y_{M})
$$
Permettant de construire immédiatement le vecteur $\overrightarrow{OM}$ :
$$
\overrightarrow{OM} =
\begin{pmatrix}
x_{M}\\
y_{M}\\
\end{pmatrix}
$$
On note que $x_{M} \in \mathbb{R}$ et $y_{M} \in \mathbb{R}$. Ceci si on regarde individuellement chacune des coordonnées.
En revanche si on regarde ces coordonnées comme un couple de valeurs alors, une notation pour écrire que ces deux valeurs sont réelles serait :
$$
(x_{M};y_{M}) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R}
$$
Et $\mathbb{R} \times \mathbb{R} = \mathbb{R}^{2}$.
D'où l'analogie entre $\mathbb{R}^{2}$ et le plan. Autrement dit $\mathbb{R}^{2}$ peut être tout le temps assimilé au plan. On verra peut être dans ce site qu'on peut identifier certaines surfaces avec ce même espace $\mathbb{R}^{2}$. Mais ceci relève d'un autre sujet.
$\mathbb{R}^{3}$
On remarquera que la même identification est réalisée entre l'espace à trois dimension tel qu'on le connait dans notre quotidien avec $\mathbb{R}^{3}$. Exactement selon le même principe.
$\mathbb{R}^{n}$
Lorsque la puissance $n$ dans $\mathbb{R}^{n}$ est supérieure à trois alors ces espace deviennent purement abstrait. Les seules visualisation possibles sont par projections. Par exemple si vous travaillez dans un espace $\mathbb{R}^{4}$, vous pouvez fixer un des variables, pour observer ce qu'il se passe dans $\mathbb{R}^{3}$. De la même manière qu'on projettrait des volumes de $\mathbb{R}^{3}$ dans $\mathbb{R}^{2}$ où dans ce cas, on ne fait que donner une image d'un volume sur un plan. Exemple : le regard humain.
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Dans cette figure, on observe