Les mathématiques sont une langue à part entière qui cherche à décrire la nature en un langage simple. Si si croyez moi, on a pas trouvé plus simple pour l'instant. La théorie des super cordes semblait avoir de bon espoirs mais il semble que ça ne fonctionne pas si bien que ça.
Donc en partant du principe que c'est une langue, elle a un alphabet. Tout d'abord on rassemble tous les alphabets existants, on les rassemble et on dispose alors d'un réservoir énorme de symboles à utiliser. Rassurez vous c'est plus ou moins faux. On utilise les lettre de son alphabet et souvent celles de l'aphabet du grec ancien. Les minuscules et majuscules. En français on utliseras en général les lettre de l'alphabet, et une bonne partie de celles de l'alphabet grec si on pousse les maths assez loin. Dans notre cadre en connaître une demi douzaine sera largement suffisant.
A cela on peut ajouter des accents. Par exemple le $ñ$ que l'on retrouve notament en espagnol pourra être utilisé. Dans le même genre, si on a un élément $a$, on peut prendre un élément $a'$, un autre élément du même genre que $a$. En math on donne toujours un nom aux choses. Et la manière dont on donne un nom est souvent dictée par le contexte.
Pour finir et c'est l'objet de ce chapitre, on ajoutera des symboles spécifiques dont le nom est précisément défini, dont l'utlité est de pouvoir écrire des phrases mathématiques avec beaucoup de sens en un minimum de caractères.
Exemple
Soit la phrase mathématiques suivante :
$$ \forall a \in \mathbb{R²} \lVert x \lVert = \sqrt{a²+b²} $$
Si on la lit à haute voix, cela donne "pour tout élément $a$ du plan réel, la norme de $a$ vaut la racine carrée de la somme de ses composants au carré.""
La formulation littérale est plus longue que celle purement mathématiques.
Par économie de temps, de lecture, d'énergie en sommes, on privilégiera la notation mathématiques autant que faire se peut.
La liste complète est sur wikipedia. Nous en utiliserons qu'une petite fraction.Le symbole symbolisant l'appartenance ou la non appartenance d'un élément à un ensemble : $x \in E$ veut dire $x$ appartient à $E$.
Si on écrit $x \notin E$ alors on signifie que $x$ n'est pas dans l'espace $E$.
Les premiers symboles purement mathématiques auxquels sont soumis les élèves d'écoles scientifiques. Ils sont au nombre de deux: $\exists$ pour il existe et $\forall$ signifie "quel que soit".
L’emploi des quantificateurs répond à certaines règles:
$\rightarrow$ Un quantificateur est placé avant la propriété qu’il quantifie. $\rightarrow$ L’emploi des quantificateurs en guise d’abréviation est proscrit. $\rightarrow$ Leur emploi doit être réservé exclusivement aux phrases rédigées intégralement en langage mathématique.
$\exists n \in E$ : il existe $n$ dans l'ensemble $E$.
Dans la suite, on représente les ensembles $A$ et $B$ très schématiquement :
On voit dans la suite les relations que peuvent avoir ces ensembles entre eux.
On dit $A \cup B$ pour $A$ union $B$, voulant aussi dire $A$ OU $B$ dans le sens logique de la définition.
Si $x \in A \cup B$ cela signifie que l'élément $x$ est dans $A$ ou dans $B$. Il peut être dans les deux à la fois.
Si $x \in A \bigcap B$ cela signifie que l'élément $x$ est dans $A$ ET dans $B$. Il doit être dans les deux à la fois.
On dit d'un ensemble qu'il est inclus dans un autre si tous les éléments du premier sont aussi dans le deuxième.
On dit que $A \subset B$ si $\forall x \in A, x \in B$.
Exemple :
Soit $[0,1] \subset \mathbb{R}$, ce qui est apriori trivial puisque tout nobre dans $[0,1]$ est un réel, donc on a bien $[0,1] \subset \mathbb{R}$,
On appelle complémentaire d'un ensemble tout ce qui n'est pas l'ensemble en question.
Soit $[0,1] \subset \mathbb{R}$, alors le complémentaire de ce segment est l'espace tout entier, $\mathbb{R}$ auquel on soustrait le segment $[0,1]$. Ce qui donne $C([0,1]) = ]-\infty ; O[ \cup ]1; +\infty[$.
Une somme discrète est une somme de nombres, dont on a un indice pour les appeler les uns après les autres et en faire la somme
Exemple : $0+1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 = \sum^{k=10}_{k=0} k$
Formule générale, soit $S$ la somme suivante : $$ S = \sum^{k=n}_{k=0} a_k $$ S est la somme des $n+1$ entiers $a_k$ pour $k$ entier allant de $0$ à $n$. Remarque: On peut très ben avoir des sommes infinies. On verra ça dans les chaptires traitenat des séries. Spoiler : une série est une somme de termes d'une suite.
Formule de Gauss de la comme des $n$ premiers entiers : $$ \sum^{k=n}_{k=0} k = \dfrac{n(n+1)}{2} $$
Le symbole d'implication : $\Rightarrow$ signifie "impliquer". Si $P \Rightarrow R$ on signifie que la proposition $P$ implique $R$.
Le symbole d'd'quivalence : $\Longleftrightarrow $ met en relation deux propositions. Si $P \Longleftrightarrow R$ signifie que $P \Rightarrow R$ et $R \Rightarrow P$.
Vrai ou faux: 2 est un entier.
Vrai ou faux: 2 est un rationnel.
Vrai ou faux: 2 est un réel.
Vrai ou faux: 2,0 est un entier.
Vrai ou faux: 2,1 est un entier.
Vrai ou faux: 2,1 est un entier relatif.
Vrai ou faux: 2,1 est un rationnel.
Vrai ou faux: 2,1 est un réel.
Vrai ou faux: 2,1 est négatif.
Vrai ou faux: $\sqrt{2}$ est un entier relatif.
Vrai ou faux: $\sqrt{2}$ est un rationnel.
Vrai ou faux: $\sqrt{2}$ est un réel.
Vrai ou faux: $-\pi$ est un entier relatif.
Vrai ou faux: $-\pi$ est un rationnel.
Vrai ou faux: $-2$ est un entier.
Vrai ou faux: $-2$ est un relatif.
Vrai ou faux: $3³\pi$ est un entier.
Vrai ou faux: $-1$ est un rationnel.
Vrai ou faux: $1/3$ est un décimal.
Vrai ou faux: $10¹²$ est un relatif.
Vrai ou faux: $(\sqrt{2}⁴)$ est un entier.
Que vaut $[0,1] \bigcup [1,3]$
Que vaut $[-1,1] \bigcup [0,2]$
Que vaut $[-\infty,-2] \bigcup [-5,0] \bigcup [0,1]$
Que vaut $[0,2] \bigcap [-2,1]$
Que vaut $[0,1] \bigcap [0,3]$
Que vaut $]-\infty,1] \bigcap [-1,3[+\infty$
Quel est le complémentaire de $]-infty;1]$
Quel est le complémentaire de $]-infty;-1[$
Quel est le complémentaire de $]-1;1]$
Quel est le complémentaire de $]0; +infty[$
$x \in E$ veut dire $x$ appartient à $E$.
$\forall x \in E$ et signifie pour tout $x$ dans $E$.
$\exists n \in E$ : il existe $n$ dans l'ensemble $E$.
$A \cup B$ cela signifie que l'élément $x$ est dans $A$ ou $B$. $x \in A \bigcap B$ cela signifie que l'élément $x$ est dans $A$ ET dans $B$. $A \subset B$ si $\forall x \in A, x \in B$.