Chapitre en cours de rédaction
Table des matières
- Les éléments qui définissent un crédit
- Le taux périodique et la capitalisation composée
- Mise en équation : la suite du capital restant dû
- Résolution de la récurrence — la formule de la mensualité constante
- Application numérique — calcul de la mensualité de l'exemple
- Construire le tableau d'amortissement, ligne par ligne
- Le tableau d'amortissement complet de l'exemple
- Coût total du crédit et vérifications
- Exercices corrigés
- Formulaire récapitulatif
Exemple filé : tout au long de ce cours, chaque notion sera immédiatement appliquée à un même crédit : capital emprunté \(C_0 = 100\,000\) €, taux nominal annuel \(r = 3\%\), durée \(20\) ans, remboursement par mensualités constantes.
1
Chapitre 1
Les éléments qui définissent un crédit
Avant tout calcul, une offre de crédit repose sur un petit nombre de données. Ce sont elles qui vont piloter toute la construction mathématique.
Définition — Éléments d'un crédit amortissable
- Capital emprunté \(C_0\) : la somme prêtée à la date de départ.
- Taux nominal annuel \(r\) : le taux d'intérêt affiché sur l'année, hors assurance et frais.
- Périodicité \(p\) : le nombre de remboursements par an (\(p=12\) pour des mensualités).
- Durée \(n\) (en années) ou, de façon équivalente, nombre total de périodes \(N = n \times p\).
- Taux périodique \(t\) : le taux d'intérêt réellement appliqué à chaque période (voir chapitre 2).
Exemple filé — Étape 1 : les données
\[ C_0 = 100\,000 \text{ €}, \qquad r = 3\% \text{ par an}, \qquad p = 12 \text{ (mensualités)}, \qquad n = 20 \text{ ans} \]
On en déduit immédiatement le nombre total de mensualités :
\[ N = n \times p = 20 \times 12 = 240 \text{ mensualités} \]
2
Chapitre 2
Le taux périodique et la capitalisation composée
Un taux de 3% « par an » ne s'applique pas directement à un remboursement mensuel : il faut le ramener à la période de remboursement.
Définition — Taux périodique proportionnel
Pour un crédit classique en France, la convention usuelle est celle du
taux proportionnel : le taux périodique est simplement le taux annuel divisé par le nombre de périodes par an.
\[ t = \frac{r}{p} \]
Remarque — Taux actuariel
Il existe une autre convention, le taux actuariel équivalent, définie par \((1+t_{\text{act}})^p = 1+r\), qui donne un taux périodique légèrement différent. Elle est utilisée pour comparer des placements ou crédits de périodicités différentes (calcul du TAEG par exemple), mais la pratique bancaire courante pour les mensualités utilise le taux proportionnel ci-dessus. C'est cette dernière convention que l'on retient dans la suite.
Exemple filé — Étape 2 : le taux périodique
\[ t = \frac{r}{p} = \frac{0{,}03}{12} = 0{,}0025 = 0{,}25\% \text{ par mois} \]
Propriété — Capitalisation composée
Si une somme \(C\) n'était pas remboursée, elle produirait des intérêts sur les intérêts déjà produits : après \(k\) périodes, elle vaudrait \(C\,(1+t)^k\). C'est ce phénomène — la capitalisation composée — qui structure tous les calculs de crédit : à chaque période, les intérêts se calculent sur le capital restant dû, pas sur le capital initial.
Rappel — Suites géométriques
Une suite \((u_k)\) est
géométrique de raison \(q\) si \(u_k = u_0 \, q^k\). La somme des \(n\) premiers termes vaut, pour \(q \neq 1\) :
\[ \sum_{k=0}^{n-1} u_0\,q^k = u_0 \, \frac{q^n-1}{q-1} \]
Ce rappel (voir aussi la page dédiée aux
suites numériques) sera la clé de la résolution au chapitre 4.
3
Chapitre 3
Mise en équation : la suite du capital restant dû
On veut rembourser le crédit par des versements identiques à chaque période, appelés mensualités constantes, notées \(M\). Il faut comprendre comment ce versement se répartit entre intérêts et remboursement du capital.
Définition — Capital restant dû
On note \(C_k\) le capital restant dû juste après le \(k\)-ième remboursement (avec \(C_0\) le capital initial, avant tout remboursement).
Mise en équation — Relation de récurrence
À chaque période \(k\) :
- Le crédit produit des intérêts sur le capital restant de la période précédente : \(I_k = C_{k-1} \times t\).
- On verse la mensualité \(M\), qui paie d'abord ces intérêts ; le reste rembourse le capital — c'est l'amortissement : \(A_k = M - I_k\).
- Le nouveau capital restant dû est donc \(C_k = C_{k-1} - A_k\).
En combinant ces trois égalités :
\[ C_k = C_{k-1} - (M - C_{k-1}\,t) = C_{k-1}(1+t) - M \]
Remarque — Nature de la suite
La suite \((C_k)\) vérifie \(C_k = a\,C_{k-1} + b\) avec \(a = 1+t\) et \(b = -M\) : c'est une suite arithmético-géométrique, pas une suite géométrique pure (à cause du terme constant \(-M\)). Il faut donc une méthode de résolution adaptée — objet du chapitre suivant.
Exemple filé — Étape 3 : l'équation du crédit
Avec \(t=0{,}0025\), la relation de récurrence pour notre crédit s'écrit :
\[ C_k = 1{,}0025\,C_{k-1} - M \]
où \(M\) est encore inconnue à ce stade : c'est justement la mensualité que la banque doit calculer pour que le crédit soit remboursé en exactement \(N=240\) mensualités, c'est-à-dire pour que \(C_{240}=0\).
4
Chapitre 4
Résolution de la récurrence — la formule de la mensualité constante
Méthode — Suite arithmético-géométrique
Pour résoudre \(C_k = (1+t)\,C_{k-1} - M\), on cherche le
point fixe \(\ell\) de la relation, c'est-à-dire la valeur telle que \(\ell = (1+t)\ell - M\) :
\[ \ell - (1+t)\ell = -M \iff -t\,\ell = -M \iff \ell = \frac{M}{t} \]
On pose alors \(v_k = C_k - \ell\). La suite \((v_k)\) est
géométrique de raison \((1+t)\) :
\[ v_k = (1+t)\,v_{k-1} \quad \Longrightarrow \quad v_k = v_0\,(1+t)^k \]
En revenant à \(C_k\) :
\[ \boxed{C_k = \frac{M}{t} + \left(C_0 - \frac{M}{t}\right)(1+t)^k} \]
Propriété — Formule de la mensualité constante
Le crédit est intégralement remboursé après \(N\) périodes si et seulement si \(C_N = 0\). En posant \(C_N=0\) dans la formule ci-dessus et en isolant \(M\) :
\[ 0 = \frac{M}{t} + \left(C_0-\frac{M}{t}\right)(1+t)^N \;\; \Longrightarrow \;\; \boxed{M = C_0 \times \frac{t\,(1+t)^N}{(1+t)^N - 1}} \]
C'est la formule fondamentale qui permet à une banque de construire une offre de crédit à mensualités constantes.
Remarque — Cohérence
Cette même formule \(C_k = \dfrac{M}{t} + \left(C_0-\dfrac{M}{t}\right)(1+t)^k\) donne aussi, pour n'importe quel \(k\), le capital restant dû sans reconstruire toute la suite — c'est ce qu'on utilisera à l'exercice 9.2.
5
Chapitre 5
Application numérique — calcul de la mensualité de l'exemple
Exemple filé — Étape 4 : calcul de \(M\)
On applique la formule du chapitre 4 avec \(C_0=100\,000\), \(t=0{,}0025\), \(N=240\).
\[ (1+t)^N = 1{,}0025^{240} \approx 1{,}820755 \]
\[ M = 100\,000 \times \frac{0{,}0025 \times 1{,}820755}{1{,}820755 - 1} = 100\,000 \times \frac{0{,}00455189}{0{,}820755} \]
\[ \boxed{M \approx 554{,}60 \text{ €}} \]
Remarque — Précision des calculs
En pratique, on garde toute la précision décimale de \(M\) pendant les calculs intermédiaires (on n'arrondit qu'à l'affichage final de chaque ligne du tableau), sans quoi de petits écarts d'arrondi s'accumuleraient sur 240 lignes et empêcheraient le capital restant dû de tomber exactement à 0 à la fin.
6
Chapitre 6
Construire le tableau d'amortissement, ligne par ligne
Le tableau d'amortissement liste, pour chaque période \(k\) de \(1\) à \(N\), la décomposition de la mensualité entre intérêts et capital.
Définition — Les quatre colonnes d'une ligne
Pour la ligne \(k\), connaissant le capital restant en début de période \(C_{k-1}\) :
| Colonne | Formule | Sens |
|---|
| Capital début de période | \(C_{k-1}\) | Capital restant dû après la mensualité précédente |
| Intérêts | \(I_k = C_{k-1}\times t\) | Coût du crédit pour cette période |
| Amortissement | \(A_k = M - I_k\) | Part de la mensualité qui rembourse le capital |
| Capital fin de période | \(C_k = C_{k-1} - A_k\) | Capital restant dû, reporté à la ligne suivante |
Remarque — Pourquoi les intérêts diminuent
Comme \(I_k\) est proportionnel à \(C_{k-1}\) et que le capital restant dû \(C_{k-1}\) diminue à chaque ligne, les intérêts diminuent eux aussi d'une ligne à l'autre — alors que la mensualité \(M\) reste constante. Mécaniquement, la part d'amortissement \(A_k = M - I_k\) augmente donc au fil du tableau : on rembourse de plus en plus de capital à mesure que le crédit avance.
Exemple filé — Étape 5 : les deux premières lignes, calculées à la main
Ligne 1 (\(C_0 = 100\,000\)) :
\[ I_1 = 100\,000 \times 0{,}0025 = 250{,}00 \text{ €} \qquad A_1 = 554{,}60 - 250{,}00 = 304{,}60 \text{ €} \]
\[ C_1 = 100\,000 - 304{,}60 = 99\,695{,}40 \text{ €} \]
Ligne 2 (\(C_1 = 99\,695{,}40\)) :
\[ I_2 = 99\,695{,}40 \times 0{,}0025 = 249{,}24 \text{ €} \qquad A_2 = 554{,}60 - 249{,}24 = 305{,}36 \text{ €} \]
\[ C_2 = 99\,695{,}40 - 305{,}36 = 99\,390{,}04 \text{ €} \]
On répète ce mécanisme identique 240 fois pour obtenir le tableau complet (chapitre 7).
7
Chapitre 7
Le tableau d'amortissement complet de l'exemple
Voici le tableau obtenu en itérant le mécanisme du chapitre 6 sur les 240 mensualités (mensualité constante \(M \approx 554{,}60\) €). On affiche les 5 premières et les 3 dernières lignes.
Tableau d'amortissement — extraits
| N° | Capital début | Intérêts | Amortissement | Capital fin |
|---|
| 1 | 100 000,00 | 250,00 | 304,60 | 99 695,40 |
| 2 | 99 695,40 | 249,24 | 305,36 | 99 390,04 |
| 3 | 99 390,04 | 248,48 | 306,12 | 99 083,92 |
| 4 | 99 083,92 | 247,71 | 306,89 | 98 777,03 |
| 5 | 98 777,03 | 246,94 | 307,66 | 98 469,38 |
| ⋮ |
| 238 | 1 655,51 | 4,14 | 550,46 | 1 105,05 |
| 239 | 1 105,05 | 2,76 | 551,84 | 553,21 |
| 240 | 553,21 | 1,38 | 553,21 | 0,00 |
Remarque — Point de contrôle
La dernière ligne doit toujours amener le capital fin de période exactement à \(0\) : c'est la vérification que la mensualité \(M\) a été correctement calculée au chapitre 5. On remarque aussi qu'à la ligne 240, l'amortissement \(A_{240}\) est presque égal à la mensualité \(M\) entière : les intérêts, en toute fin de crédit, deviennent négligeables.
8
Chapitre 8
Coût total du crédit et vérifications
Définition — Coût total du crédit
Le
total payé est la somme de toutes les mensualités ; le
coût total du crédit (ou total des intérêts) est ce total diminué du capital emprunté :
\[ \text{Total payé} = M \times N \qquad \text{Coût total du crédit} = M\times N - C_0 \]
Exemple filé — Étape 6 : le coût du crédit
\[ \text{Total payé} = 554{,}60 \times 240 \approx 133\,103{,}42 \text{ €} \]
\[ \text{Coût total du crédit} = 133\,103{,}42 - 100\,000 = 33\,103{,}42 \text{ €} \]
Autrement dit, pour ce crédit, on rembourse au total un peu plus de
33% du capital emprunté en intérêts.
Remarque — Double vérification
On peut vérifier ce résultat de deux façons indépendantes : (1) la somme de tous les amortissements \(A_1+A_2+\cdots+A_{240}\) doit être égale au capital initial \(100\,000\) € ; (2) la somme de tous les intérêts \(I_1+I_2+\cdots+I_{240}\) doit être égale au coût total du crédit, \(33\,103{,}42\) €.
9
Chapitre 9
Exercices corrigés
Exercice 9.1
Même capital, durée plus courte
On reprend \(C_0=100\,000\) € et \(r=3\%\), mais sur une durée de 15 ans (au lieu de 20). Calculer la nouvelle mensualité, le total payé et le coût total du crédit. Comparer avec l'exemple filé.
Voir la correction
Données
\( t = 0{,}0025 \) (inchangé), \( N = 15 \times 12 = 180 \).
Mensualité
\( (1+t)^{180} \approx 1{,}565681 \)
\( M = 100\,000 \times \dfrac{0{,}0025 \times 1{,}565681}{1{,}565681-1} \approx 690{,}58 \) €
Coût total
Total payé \( = 690{,}58 \times 180 \approx 124\,304{,}70 \) €
Coût total du crédit \(\approx 24\,304{,}70\) € — plus faible que sur 20 ans (33 103,42 €), mais avec une mensualité plus élevée (690,58 € contre 554,60 €). C'est le compromis classique durée / mensualité / coût total.
Exercice 9.2
Capital restant dû sans reconstruire tout le tableau
Pour le crédit initial (100 000 €, 3%, 20 ans), calculer le capital restant dû après 8 ans (96 mensualités), en utilisant directement la formule du chapitre 4 — sans construire les 96 premières lignes.
Voir la correction
On utilise \( C_k = \dfrac{M}{t} + \left(C_0-\dfrac{M}{t}\right)(1+t)^k \) avec \(k=96\), \(M\approx554{,}5976\), \(t=0{,}0025\).
\( \dfrac{M}{t} = \dfrac{554{,}5976}{0{,}0025} = 221\,839{,}04 \)
\( (1+t)^{96} = 1{,}0025^{96} \approx 1{,}271249 \)
\( C_{96} = 221\,839{,}04 + (100\,000-221\,839{,}04)\times1{,}271249 \)
\( C_{96} \approx 66\,997{,}65 \) € (après 8 ans, un peu plus du tiers du capital est déjà remboursé).
Exercice 9.3
Part des intérêts dans la première mensualité
Quelle proportion de la toute première mensualité sert à payer des intérêts, plutôt qu'à rembourser du capital ?
Voir la correction
\( I_1 = 250{,}00 \) € (calculé au chapitre 6), \( M \approx 554{,}60 \) €.
\( \dfrac{I_1}{M} = \dfrac{250{,}00}{554{,}60} \approx 0{,}4508 \)
Environ 45% de la première mensualité part en intérêts — une proportion qui décroît ensuite à chaque ligne du tableau (chapitre 6).
10
Chapitre 10
Formulaire récapitulatif
Formulaire — Crédit à mensualités constantes
| Grandeur | Formule |
|---|
| Taux périodique | \(t = \dfrac{r}{p}\) |
| Nombre de périodes | \(N = n \times p\) |
| Mensualité constante | \(M = C_0 \times \dfrac{t(1+t)^N}{(1+t)^N-1}\) |
| Capital restant dû après \(k\) périodes | \(C_k = \dfrac{M}{t} + \left(C_0-\dfrac{M}{t}\right)(1+t)^k\) |
| Intérêts de la période \(k\) | \(I_k = C_{k-1}\times t\) |
| Amortissement de la période \(k\) | \(A_k = M - I_k\) |
| Coût total du crédit | \(M \times N - C_0\) |
Pour aller plus loin
Ce cours traite le cas le plus courant, le crédit amortissable à mensualités constantes. D'autres montages existent (crédit in fine, où seul le capital est remboursé en une fois à l'échéance et les intérêts sont payés à part chaque période ; ou amortissement constant, où c'est \(A_k\) qui est fixe et la mensualité qui varie) : ils se traitent avec les mêmes outils — suites et récurrences — mais une mise en équation différente.
Index ↑