Première méthodes pour les équation du premier degré à une inconnue
CollègeCe cours construit la trigonométrie pas à pas : on part du cercle et des angles, on définit le cosinus et le sinus, puis on en tire toutes les formules, les équations, les fonctions et les applications aux triangles.
Un tour complet vaut $360^\circ$. Un angle plat vaut $180^\circ$, un angle droit $90^\circ$.
Dans un cercle de rayon $R$, un angle au centre intercepte un arc de longueur $\ell$. La mesure en radians de cet angle est
$$\theta = \frac{\ell}{R}.$$
Cette définition ne dépend pas de $R$ : si on multiplie $R$ par $k$, $\ell$ est multiplié par $k$ aussi. Pour un tour complet, $\ell = 2\pi R$, donc
$$360^\circ = 2\pi \text{ rad}, \qquad 180^\circ = \pi \text{ rad}.$$
Conversion. La mesure en degrés $d$ et la mesure en radians $x$ sont proportionnelles :
$$\frac{d}{180} = \frac{x}{\pi}.$$
| Degrés | $0^\circ$ | $30^\circ$ | $45^\circ$ | $60^\circ$ | $90^\circ$ | $120^\circ$ | $135^\circ$ | $150^\circ$ | $180^\circ$ | $270^\circ$ | $360^\circ$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Radians | $0$ | $\frac{\pi}{6}$ | $\frac{\pi}{4}$ | $\frac{\pi}{3}$ | $\frac{\pi}{2}$ | $\frac{2\pi}{3}$ | $\frac{3\pi}{4}$ | $\frac{5\pi}{6}$ | $\pi$ | $\frac{3\pi}{2}$ | $2\pi$ |
Longueur d'arc. Avec $\theta$ en radians : $\ell = R\theta$. Aire d'un secteur. $\mathcal{A} = \dfrac{1}{2}R^2\theta$.
En analyse, on travaille toujours en radians : c'est avec cette unité que les dérivées de $\sin$ et $\cos$ sont simples.
On se place dans un plan muni d'un repère orthonormé $(O ; \vec{i}, \vec{j})$.
Le cercle trigonométrique $\mathcal{C}$ est le cercle de centre $O$ et de rayon $1$. On l'oriente : le sens direct (ou trigonométrique) est le sens inverse des aiguilles d'une montre.
Imaginons la droite numérique tangente au cercle en $I(1,0)$. On l'enroule autour du cercle : la partie positive dans le sens direct, la partie négative dans le sens indirect. À chaque réel $x$ correspond ainsi un unique point $M(x)$ du cercle.
Comme le cercle a pour périmètre $2\pi$, les réels $x$ et $x + 2\pi$ donnent le même point. Plus généralement, $x$ et $x + 2k\pi$ ($k \in \mathbb{Z}$) donnent le même point.
Si $M$ est un point du cercle, l'angle orienté $(\overrightarrow{OI}, \overrightarrow{OM})$ admet une infinité de mesures, qui diffèrent d'un multiple de $2\pi$ : on dit qu'elles sont congrues modulo $2\pi$ et on écrit
$$x \equiv y \pmod{2\pi} \iff x - y = 2k\pi,\ k \in \mathbb{Z}.$$
La mesure principale est celle qui appartient à $]-\pi\,;\,\pi]$.
Exemple. $\dfrac{17\pi}{4} = 4\pi + \dfrac{\pi}{4}$, donc la mesure principale est $\dfrac{\pi}{4}$.
Soit $x$ un réel et $M(x)$ le point correspondant du cercle trigonométrique. Les coordonnées de $M$ dans le repère $(O;\vec{i},\vec{j})$ définissent :
$$\boxed{M(x) = (\cos x\,;\,\sin x)}$$
Autrement dit : $\overrightarrow{OM} = \cos x\ \vec{i} + \sin x\ \vec{j}$.
| $x$ | $0$ | $\frac{\pi}{2}$ | $\pi$ | $\frac{3\pi}{2}$ |
|---|---|---|---|---|
| $\cos x$ | $1$ | $0$ | $-1$ | $0$ |
| $\sin x$ | $0$ | $1$ | $0$ | $-1$ |
| Quadrant | $x \in$ | $\cos x$ | $\sin x$ |
|---|---|---|---|
| I | $]0\,;\frac{\pi}{2}[$ | $+$ | $+$ |
| II | $]\frac{\pi}{2}\,;\pi[$ | $-$ | $+$ |
| III | $]\pi\,;\frac{3\pi}{2}[$ | $-$ | $-$ |
| IV | $]\frac{3\pi}{2}\,;2\pi[$ | $+$ | $-$ |
Angle $\frac{\pi}{4}$ ($45^\circ$). Le triangle $OHM$ (avec $H$ le projeté de $M$ sur l'axe des abscisses) est rectangle isocèle : $\cos x = \sin x$. Avec $\cos^2 x + \sin^2 x = 1$ on obtient $2\cos^2 x = 1$, donc $\cos\frac{\pi}{4} = \sin\frac{\pi}{4} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$.
Angle $\frac{\pi}{3}$ ($60^\circ$). Le triangle $OIM$ est isocèle en $O$ avec un angle de $60^\circ$ : il est équilatéral de côté $1$. Le pied $H$ de la hauteur issue de $M$ est le milieu de $[OI]$, donc $\cos\frac{\pi}{3} = \dfrac{1}{2}$. Alors $\sin\frac{\pi}{3} = \sqrt{1 - \frac14} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$.
Angle $\frac{\pi}{6}$ ($30^\circ$). Par symétrie par rapport à la bissectrice du premier quadrant ($y = x$), qui échange $\frac{\pi}{3}$ et $\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{6}$ : $\cos\frac{\pi}{6} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ et $\sin\frac{\pi}{6} = \dfrac{1}{2}$.
| $x$ | $0$ | $\frac{\pi}{6}$ | $\frac{\pi}{4}$ | $\frac{\pi}{3}$ | $\frac{\pi}{2}$ |
|---|---|---|---|---|---|
| $\sin x$ | $0$ | $\frac{1}{2}$ | $\frac{\sqrt{2}}{2}$ | $\frac{\sqrt{3}}{2}$ | $1$ |
| $\cos x$ | $1$ | $\frac{\sqrt{3}}{2}$ | $\frac{\sqrt{2}}{2}$ | $\frac{1}{2}$ | $0$ |
| $\tan x$ | $0$ | $\frac{\sqrt{3}}{3}$ | $1$ | $\sqrt{3}$ | — |
Moyen mnémotechnique. Pour le sinus, on lit $\frac{\sqrt{0}}{2},\frac{\sqrt{1}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{\sqrt{4}}{2}$ ; pour le cosinus, on lit la même suite à l'envers.
Pour tout réel $x$ :
$$\boxed{\cos^2 x + \sin^2 x = 1}$$
Preuve. $M(x)$ appartient au cercle de rayon $1$ : $OM^2 = \cos^2 x + \sin^2 x = 1$. $\square$
Conséquences. $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$, $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$. Si l'on connaît $\cos x$, on connaît $\sin x$ au signe près : $\sin x = \pm\sqrt{1 - \cos^2 x}$, le signe étant donné par le quadrant.
Exemple. Si $\cos x = \dfrac{3}{5}$ et $x \in ]-\pi\,;0[$, alors $\sin^2 x = 1 - \dfrac{9}{25} = \dfrac{16}{25}$, et comme $x$ est dans le bas du cercle, $\sin x = -\dfrac{4}{5}$.
Toutes ces relations se lisent par des symétries du cercle. On note $M(x)$ le point d'angle $x$.
Le point $M(-x)$ est le symétrique de $M(x)$ par rapport à l'axe des abscisses.
$$\cos(-x) = \cos x, \qquad \sin(-x) = -\sin x.$$
Le cosinus est pair, le sinus est impair.
$M(\pi - x)$ est le symétrique de $M(x)$ par rapport à l'axe des ordonnées.
$$\cos(\pi - x) = -\cos x, \qquad \sin(\pi - x) = \sin x.$$
$M(\pi + x)$ est le symétrique de $M(x)$ par rapport à $O$.
$$\cos(\pi + x) = -\cos x, \qquad \sin(\pi + x) = -\sin x.$$
$M\left(\frac{\pi}{2} - x\right)$ est le symétrique de $M(x)$ par rapport à la première bissectrice $y = x$ (qui échange abscisse et ordonnée).
$$\cos\left(\tfrac{\pi}{2} - x\right) = \sin x, \qquad \sin\left(\tfrac{\pi}{2} - x\right) = \cos x.$$
On compose les deux relations précédentes ($\frac{\pi}{2} + x = \frac{\pi}{2} - (-x)$) :
$$\cos\left(\tfrac{\pi}{2} + x\right) = -\sin x, \qquad \sin\left(\tfrac{\pi}{2} + x\right) = \cos x.$$
$$\cos(x + 2k\pi) = \cos x, \quad \sin(x + 2k\pi) = \sin x \qquad (k \in \mathbb{Z}).$$
| Angle | $-x$ | $\pi - x$ | $\pi + x$ | $\frac{\pi}{2} - x$ | $\frac{\pi}{2} + x$ |
|---|---|---|---|---|---|
| cosinus | $\cos x$ | $-\cos x$ | $-\cos x$ | $\sin x$ | $-\sin x$ |
| sinus | $-\sin x$ | $\sin x$ | $-\sin x$ | $\cos x$ | $\cos x$ |
$$\cos\frac{2\pi}{3} = \cos\left(\pi - \frac{\pi}{3}\right) = -\cos\frac{\pi}{3} = -\frac12, \qquad \sin\frac{7\pi}{6} = \sin\left(\pi + \frac{\pi}{6}\right) = -\frac12.$$
Pour tout angle, on se ramène ainsi à un angle de $[0\,;\frac{\pi}{2}]$.
Pour $x \not\equiv \dfrac{\pi}{2} \pmod{\pi}$ (c'est-à-dire $\cos x \neq 0$) :
$$\boxed{\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}}$$
On trace la tangente au cercle en $I(1,0)$ (la droite d'équation $x = 1$). La droite $(OM)$ coupe cette tangente en un point $T$, et $\tan x$ est l'ordonnée de $T$. En effet, par Thalès dans les triangles $OHM$ et $OIT$ : $\dfrac{IT}{OI} = \dfrac{HM}{OH}$, soit $IT = \dfrac{\sin x}{\cos x}$.
Géométriquement, $\tan x$ est aussi la pente de la droite $(OM)$.
$$1 + \tan^2 x = \frac{1}{\cos^2 x}.$$
Preuve. On divise $\cos^2 x + \sin^2 x = 1$ par $\cos^2 x$. $\square$
La cotangente est l'inverse : $\cot x = \dfrac{\cos x}{\sin x}$ (pour $\sin x \neq 0$).
Soit un triangle $ABC$ rectangle en $A$, et $\alpha$ l'angle en $B$. Le côté $[BC]$ est l'hypoténuse, $[AC]$ est le côté opposé à $\alpha$, $[AB]$ est le côté adjacent à $\alpha$.
$$\cos\alpha = \frac{\text{adjacent}}{\text{hypoténuse}} = \frac{AB}{BC}, \qquad \sin\alpha = \frac{\text{opposé}}{\text{hypoténuse}} = \frac{AC}{BC}, \qquad \tan\alpha = \frac{\text{opposé}}{\text{adjacent}} = \frac{AC}{AB}.$$
(Moyen mnémotechnique anglo-saxon : SOH-CAH-TOA.)
Justification. On place le triangle dans un cercle trigonométrique : après agrandissement ou réduction (Thalès) de rapport $BC$, on retrouve exactement les coordonnées du cercle unité. Cette définition coïncide donc avec celle du §3, pour $\alpha \in ]0\,;\frac{\pi}{2}[$.
Exemple. Une échelle de $4$ m, inclinée à $70^\circ$ sur le sol, atteint une hauteur $4\sin 70^\circ \approx 3{,}76$ m et son pied est à $4\cos 70^\circ \approx 1{,}37$ m du mur.
Rappel. Les angles aigus d'un triangle rectangle sont complémentaires, d'où $\sin\alpha = \cos(90^\circ - \alpha)$ : c'est exactement la relation du §6.4.
Soit $a$ un réel. Pour tout $x \in \mathbb{R}$ :
$$\cos x = \cos a \iff x \equiv a \pmod{2\pi}\ \text{ ou }\ x \equiv -a \pmod{2\pi}$$
$$\sin x = \sin a \iff x \equiv a \pmod{2\pi}\ \text{ ou }\ x \equiv \pi - a \pmod{2\pi}$$
$$\tan x = \tan a \iff x \equiv a \pmod{\pi}$$
Justification. Deux points du cercle ont même abscisse s'ils sont égaux ou symétriques par rapport à l'axe des abscisses ; même ordonnée s'ils sont égaux ou symétriques par rapport à l'axe des ordonnées.
(a) $\cos x = \dfrac{1}{2}$. Comme $\dfrac12 = \cos\dfrac{\pi}{3}$ : $x = \pm\dfrac{\pi}{3} + 2k\pi$.
(b) $\sin x = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}$. Comme $-\dfrac{\sqrt{2}}{2} = \sin\left(-\dfrac{\pi}{4}\right)$ : $x = -\dfrac{\pi}{4} + 2k\pi$ ou $x = \pi + \dfrac{\pi}{4} + 2k\pi = \dfrac{5\pi}{4} + 2k\pi$.
(c) $\cos(2x) = \sin x$. On écrit $\sin x = \cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right)$, donc $2x \equiv \frac{\pi}{2} - x$ ou $2x \equiv -\frac{\pi}{2} + x \pmod{2\pi}$, soit $x = \frac{\pi}{6} + \frac{2k\pi}{3}$ ou $x = -\frac{\pi}{2} + 2k\pi$.
(d) $2\cos^2 x + \cos x - 1 = 0$. On pose $X = \cos x$ : $2X^2 + X - 1 = 0$, de racines $X = \frac12$ et $X = -1$. Donc $\cos x = \frac12$ ($x = \pm\frac{\pi}{3} + 2k\pi$) ou $\cos x = -1$ ($x = \pi + 2k\pi$).
(e) $2\sin^2 x + \cos x = 2$. On remplace $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$ : $-2\cos^2 x + \cos x = 0$, donc $\cos x(1 - 2\cos x) = 0$ : $\cos x = 0$ ou $\cos x = \frac12$.
On résout d'abord dans $\mathbb{R}$, puis on garde les solutions de l'intervalle, en cherchant les entiers $k$ qui conviennent.
Exemple. Résoudre $\sin x = \frac{1}{2}$ sur $[0\,;2\pi[$. Solutions : $x = \frac{\pi}{6}$ et $x = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$.
Méthode : on se place sur un tour de cercle et on lit les points du cercle qui vérifient la condition.
Exemple. $\cos x \ge \dfrac{1}{2}$ sur $]-\pi\,;\pi]$. Les points d'abscisse $\ge \frac12$ forment un arc symétrique autour de $I$ : $x \in \left[-\dfrac{\pi}{3}\,;\dfrac{\pi}{3}\right]$. Dans $\mathbb{R}$ : $x \in \left[-\dfrac{\pi}{3} + 2k\pi\,;\ \dfrac{\pi}{3} + 2k\pi\right]$.
Exemple. $\sin x < -\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ sur $[0\,;2\pi[$. Les points d'ordonnée $< -\frac{\sqrt2}{2}$ forment l'arc de $\frac{5\pi}{4}$ à $\frac{7\pi}{4}$ (bornes exclues) : $x \in \left]\dfrac{5\pi}{4}\,;\dfrac{7\pi}{4}\right[$.
Pour tous réels $a$ et $b$ :
$$\boxed{\cos(a - b) = \cos a\cos b + \sin a\sin b}$$ $$\boxed{\cos(a + b) = \cos a\cos b - \sin a\sin b}$$ $$\boxed{\sin(a + b) = \sin a\cos b + \cos a\sin b}$$ $$\boxed{\sin(a - b) = \sin a\cos b - \cos a\sin b}$$
Preuve de la première. Soient $M(a)$ et $N(b)$ deux points du cercle. Les vecteurs $\overrightarrow{OM} = (\cos a, \sin a)$ et $\overrightarrow{ON} = (\cos b, \sin b)$ sont unitaires. Leur produit scalaire s'écrit de deux façons :
D'où le résultat. $\square$
Les trois autres.
Pour $a$, $b$, $a+b$ différents de $\frac{\pi}{2} \pmod\pi$ :
$$\tan(a + b) = \frac{\tan a + \tan b}{1 - \tan a\tan b}, \qquad \tan(a - b) = \frac{\tan a - \tan b}{1 + \tan a\tan b}.$$
Preuve. On divise numérateur et dénominateur de $\frac{\sin(a+b)}{\cos(a+b)}$ par $\cos a\cos b$.
On pose $b = a$ dans les formules d'addition :
$$\boxed{\sin 2a = 2\sin a\cos a}$$ $$\boxed{\cos 2a = \cos^2 a - \sin^2 a = 2\cos^2 a - 1 = 1 - 2\sin^2 a}$$ $$\tan 2a = \frac{2\tan a}{1 - \tan^2 a}$$
(Les deux dernières expressions de $\cos 2a$ viennent de $\cos^2 a + \sin^2 a = 1$.)
$\frac{\pi}{12} = \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4}$ :
$$\cos\frac{\pi}{12} = \cos\frac{\pi}{3}\cos\frac{\pi}{4} + \sin\frac{\pi}{3}\sin\frac{\pi}{4} = \frac{1}{2}\cdot\frac{\sqrt2}{2} + \frac{\sqrt3}{2}\cdot\frac{\sqrt2}{2} = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}.$$
De même $\sin\dfrac{\pi}{12} = \dfrac{\sqrt6 - \sqrt2}{4}$.
$\frac{\pi}{8}$ : on utilise $\cos\frac{\pi}{4} = 2\cos^2\frac{\pi}{8} - 1$, d'où $\cos^2\frac{\pi}{8} = \dfrac{2 + \sqrt2}{4}$. Comme $\cos\frac{\pi}{8} > 0$ :
$$\cos\frac{\pi}{8} = \frac{\sqrt{2 + \sqrt2}}{2}, \qquad \sin\frac{\pi}{8} = \frac{\sqrt{2 - \sqrt2}}{2}.$$
En inversant les formules de duplication :
$$\boxed{\cos^2 a = \frac{1 + \cos 2a}{2}}, \qquad \boxed{\sin^2 a = \frac{1 - \cos 2a}{2}}$$
Très utile pour calculer des intégrales (voir §13).
En additionnant ou soustrayant les formules d'addition :
$$\cos a\cos b = \frac{1}{2}\left[\cos(a - b) + \cos(a + b)\right]$$ $$\sin a\sin b = \frac{1}{2}\left[\cos(a - b) - \cos(a + b)\right]$$ $$\sin a\cos b = \frac{1}{2}\left[\sin(a + b) + \sin(a - b)\right]$$
On pose $p = a + b$ et $q = a - b$ (soit $a = \frac{p+q}{2}$, $b = \frac{p-q}{2}$) :
$$\cos p + \cos q = 2\cos\frac{p+q}{2}\cos\frac{p-q}{2}$$ $$\cos p - \cos q = -2\sin\frac{p+q}{2}\sin\frac{p-q}{2}$$ $$\sin p + \sin q = 2\sin\frac{p+q}{2}\cos\frac{p-q}{2}$$ $$\sin p - \sin q = 2\cos\frac{p+q}{2}\sin\frac{p-q}{2}$$
Ces formules servent à factoriser une expression pour résoudre une équation.
Exemple. $\sin 3x + \sin x = 0$. On factorise : $2\sin 2x\cos x = 0$, donc $\sin 2x = 0$ ou $\cos x = 0$ : $x = \dfrac{k\pi}{2}$ ou $x = \dfrac{\pi}{2} + k\pi$. Le second cas est inclus dans le premier : $x = \dfrac{k\pi}{2}$, $k \in \mathbb{Z}$.
Soit $t = \tan\dfrac{x}{2}$ (avec $x \not\equiv \pi \pmod{2\pi}$). Alors
$$\cos x = \frac{1 - t^2}{1 + t^2}, \qquad \sin x = \frac{2t}{1 + t^2}, \qquad \tan x = \frac{2t}{1 - t^2}.$$
Preuve. $\cos x = \cos^2\frac{x}{2} - \sin^2\frac{x}{2} = \cos^2\frac{x}{2}\,(1 - t^2)$ et $\cos^2\frac{x}{2} = \frac{1}{1+t^2}$. De même $\sin x = 2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2} = 2t\cos^2\frac{x}{2}$. $\square$
Cette substitution ramène toute fraction rationnelle en $\sin x$ et $\cos x$ à une fraction rationnelle en $t$ (utile pour les primitives).
Soient $a$ et $b$ deux réels non tous deux nuls. Posons $R = \sqrt{a^2 + b^2} > 0$. Le point $\left(\frac{a}{R}, \frac{b}{R}\right)$ est sur le cercle unité, donc il existe $\varphi$ tel que $\cos\varphi = \dfrac{a}{R}$ et $\sin\varphi = \dfrac{b}{R}$. Alors
$$a\cos x + b\sin x = R\left(\cos\varphi\cos x + \sin\varphi\sin x\right) = R\cos(x - \varphi).$$
$$\boxed{a\cos x + b\sin x = R\cos(x - \varphi)}, \qquad R = \sqrt{a^2 + b^2}.$$
Conséquences.
Exemple. Résoudre $\cos x + \sqrt3\sin x = 1$. Ici $R = 2$, $\cos\varphi = \frac12$, $\sin\varphi = \frac{\sqrt3}{2}$, donc $\varphi = \frac{\pi}{3}$. L'équation devient $2\cos\left(x - \frac{\pi}{3}\right) = 1$, soit $\cos\left(x - \frac{\pi}{3}\right) = \frac12 = \cos\frac{\pi}{3}$. Donc $x - \frac{\pi}{3} = \pm\frac{\pi}{3} + 2k\pi$ :
$$x = \frac{2\pi}{3} + 2k\pi \quad\text{ou}\quad x = 2k\pi.$$
La courbe de $\sin$ est la sinusoïde. Celle de $\cos$ s'en déduit par une translation de vecteur $-\frac{\pi}{2}\vec{i}$ (car $\cos x = \sin\left(x + \frac{\pi}{2}\right)$).
| Fonction | $f(x) = \sin x$ | $f(x) = \cos x$ | $f(x) = \tan x$ |
|---|---|---|---|
| Domaine | $\mathbb{R}$ | $\mathbb{R}$ | $\mathbb{R}\setminus\left{\frac{\pi}{2} + k\pi\right}$ |
| Parité | impaire | paire | impaire |
| Période | $2\pi$ | $2\pi$ | $\pi$ |
| Image | $[-1\,;1]$ | $[-1\,;1]$ | $\mathbb{R}$ |
On étudie donc $\sin$ et $\cos$ sur $[0\,;\pi]$ puis on complète par symétrie et translation.
Encadrement. Pour $0 < x < \dfrac{\pi}{2}$, en comparant l'aire du triangle $OIM$, celle du secteur $OIM$ et celle du triangle $OIT$ :
$$\frac{1}{2}\sin x < \frac{1}{2}x < \frac{1}{2}\tan x,$$
c'est-à-dire $\sin x < x < \tan x$, donc $\cos x < \dfrac{\sin x}{x} < 1$. Le théorème des gendarmes donne :
$$\boxed{\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x} = 1}$$
(la parité de $\frac{\sin x}{x}$ permet de conclure aussi à gauche de $0$). On en déduit :
$$\lim{x\to 0}\frac{1 - \cos x}{x} = 0, \qquad \lim{x\to 0}\frac{1 - \cos x}{x^2} = \frac{1}{2}, \qquad \lim_{x\to 0}\frac{\tan x}{x} = 1.$$
Preuve de la deuxième. $1 - \cos x = 2\sin^2\frac{x}{2}$, donc $\dfrac{1 - \cos x}{x^2} = \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{\sin(x/2)}{x/2}\right)^2 \to \dfrac12$. $\square$
La limite précédente est le nombre dérivé de $\sin$ en $0$ : $\sin'(0) = 1$. Avec la formule d'addition :
$$\frac{\sin(x + h) - \sin x}{h} = \sin x\cdot\frac{\cos h - 1}{h} + \cos x\cdot\frac{\sin h}{h} \xrightarrow[h\to 0]{} \cos x.$$
D'où :
$$\boxed{\sin' = \cos}, \qquad \boxed{\cos' = -\sin}, \qquad \boxed{\tan' = 1 + \tan^2 = \frac{1}{\cos^2}}.$$
Dérivées composées : $(\sin u)' = u'\cos u$ et $(\cos u)' = -u'\sin u$.
$$\int \cos x\,dx = \sin x + C, \qquad \int \sin x\,dx = -\cos x + C.$$
Exemple. $\displaystyle\int_0^{\pi}\sin^2 x\,dx = \int_0^{\pi}\frac{1 - \cos 2x}{2}\,dx = \left[\frac{x}{2} - \frac{\sin 2x}{4}\right]_0^{\pi} = \frac{\pi}{2}.$
Une fonction $f(t) = A\sin(\omega t + \varphi)$ modélise un phénomène périodique (son, courant alternatif, oscillations). Ici :
Soit $ABC$ un triangle, avec $a = BC$, $b = CA$, $c = AB$ et les angles $\widehat{A}$, $\widehat{B}$, $\widehat{C}$. Soit $R$ le rayon du cercle circonscrit et $\mathcal{S}$ l'aire.
$$\mathcal{S} = \frac{1}{2}bc\sin\widehat{A} = \frac{1}{2}ac\sin\widehat{B} = \frac{1}{2}ab\sin\widehat{C}.$$
Preuve. Soit $H$ le pied de la hauteur issue de $C$. Alors $CH = b\sin\widehat{A}$ et $\mathcal{S} = \frac{1}{2}\,c\cdot CH$. $\square$
$$\boxed{\frac{a}{\sin\widehat{A}} = \frac{b}{\sin\widehat{B}} = \frac{c}{\sin\widehat{C}} = 2R}$$
Preuve de l'égalité des trois premiers rapports. En égalant les trois expressions de l'aire et en divisant par $\frac{1}{2}abc$. $\square$
$$\boxed{a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos\widehat{A}}$$
(et deux formules analogues par permutation circulaire).
Preuve. $a^2 = BC^2 = |\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}|^2 = b^2 + c^2 - 2\,\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC} = b^2 + c^2 - 2bc\cos\widehat{A}$. $\square$
Si $\widehat{A} = 90^\circ$, on retrouve le théorème de Pythagore.
| Données | Méthode |
|---|---|
| deux angles et un côté | troisième angle ($180^\circ$), puis loi des sinus |
| deux côtés et l'angle compris | loi des cosinus, puis loi des sinus |
| trois côtés | loi des cosinus pour chaque angle |
| deux côtés et un angle non compris | loi des sinus (attention : 0, 1 ou 2 solutions) |
Exemple. $b = 5$, $c = 7$, $\widehat{A} = 60^\circ$. Alors $a^2 = 25 + 49 - 70\cdot\frac12 = 39$, donc $a = \sqrt{39} \approx 6{,}24$. L'aire vaut $\frac12\cdot 5\cdot 7\cdot\frac{\sqrt3}{2} = \frac{35\sqrt3}{4}$.
Pour tout réel $\theta$ :
$$e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta.$$
Le point d'affixe $e^{i\theta}$ est le point $M(\theta)$ du cercle trigonométrique. On en tire
$$\cos\theta = \frac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2}, \qquad \sin\theta = \frac{e^{i\theta} - e^{-i\theta}}{2i}.$$
Pour tout entier $n$ :
$$(\cos\theta + i\sin\theta)^n = \cos n\theta + i\sin n\theta.$$
Elle découle de $\left(e^{i\theta}\right)^n = e^{in\theta}$.
$$e^{i(a+b)} = e^{ia}e^{ib} \implies \cos(a+b) + i\sin(a+b) = (\cos a + i\sin a)(\cos b + i\sin b).$$
En identifiant parties réelle et imaginaire, on retrouve $\cos(a+b)$ et $\sin(a+b)$.
Tout complexe non nul s'écrit $z = r(\cos\theta + i\sin\theta) = re^{i\theta}$ avec $r = |z|$ et $\theta = \arg z$.
$$\cos^3 x = \left(\frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2}\right)^3 = \frac{e^{3ix} + 3e^{ix} + 3e^{-ix} + e^{-3ix}}{8} = \frac{\cos 3x + 3\cos x}{4}.$$
Bases $$\cos^2 x + \sin^2 x = 1, \qquad \tan x = \frac{\sin x}{\cos x}, \qquad 1 + \tan^2 x = \frac{1}{\cos^2 x}$$
Addition $$\cos(a\pm b) = \cos a\cos b \mp \sin a\sin b, \qquad \sin(a\pm b) = \sin a\cos b \pm \cos a\sin b$$
Duplication $$\sin 2a = 2\sin a\cos a, \qquad \cos 2a = \cos^2 a - \sin^2 a = 2\cos^2 a - 1 = 1 - 2\sin^2 a$$
Linéarisation $$\cos^2 a = \frac{1 + \cos 2a}{2}, \qquad \sin^2 a = \frac{1 - \cos 2a}{2}$$
Dérivées $$\sin' = \cos, \qquad \cos' = -\sin, \qquad \tan' = \frac{1}{\cos^2}$$
Triangle $$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R, \qquad a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$$