Essayons de voir quel effet a l'opération de dériver plusieurs fois une fonction (voir ici). Commençons avec un cas concret :
Soit $y = x^5$.
Première dérivée
\begin{alignat*}{3}
& &&5x^4. && \\
\end{alignat*}
Deuxième dérivée
\begin{alignat*}{3}
& &&5 × 4x^3 &&= 20x^3. \\
\end{alignat*}
Troisième dérivée
\begin{alignat*}{3}
& &&5 × 4 × 3x^2 &&= 60x^2. \\
\end{alignat*}
Quatrième dérivée
\begin{alignat*}{3}
& &&5 × 4 × 3 × 2x &&= 120x. \\
\end{alignat*}
Cinquième dérivée
\begin{alignat*}{3}
& &&5 × 4 × 3 × 2 × 1 &&= 120. \\
\end{alignat*}
Sixième dérivée
\begin{alignat*}{3}
& && &&= 0.
\end{alignat*}
Il existe une certaine notation, que nous avons déjà vue, (voir ici), utilisée dans certains cas, qui reste très pratique. Tout d'abord on va utiliser le symbole général $f(x)$, où le symbole $f( )$ se lit “fonction de,” sans dire explicitement de quelle fonction il s'agit. Ainsi, l'expression $y=f(x)$ nous dit en gros que $y$ est une fonction de $x$, qui pourrait être $x^2$ ou $ax^n$, ou $\cos x$ ou n'importe quelle autre fonction compliquée de $x$.
Le symbole correspondant au coefficient différentiel, à la dérivée est $f'(x)$, qui est plus simple à écrire que $\dfrac{dy}{dx}$. On appelle $f'(x)$ la “fonction dérivée” de $x$.
Supposons que l'on dérive à nouveau, on aura donc la “dérivée seconde de la fonction” ou différentielle seconde, ou encore coefficient différentiel du second ordre, noté $f''(x)$; et ainsi de suite.
Maintenant généralisons.
Soit $y = f(x) = x^n$. Première différentiation: \begin{align*} f'(x) &= nx^{n-1}. \\ \end{align*} Deuxième différentiation: \begin{align*} f''(x) &= n(n-1)x^{n-2}. \\ \end{align*} Troisième différentiation: \begin{align*} f'''(x) &= n(n-1)(n-2)x^{n-3}. \\ \end{align*} Quatrième différentiation: \begin{align*} f''''(x) &= n(n-1)(n-2)(n-3)x^{n-4}. \\ \end{align*} $\llap{\text{etc.,}}$
Mais ce n'est pas le seul moyen de noter, d'indiquer qu'une fonction est une dérivée multiple. On a, si la fonction originale est : \begin{align*} y &= f(x); \\ \end{align*} une fois dérivée on a: \begin{align*} \frac{dy}{dx} &= f'(x); \\ \end{align*} une deuxième différentiation donne : \begin{align*} \frac{d\left(\dfrac{dy}{dx}\right)}{dx} &= f''(x); \end{align*} ce qui est plus communément écrit $\dfrac{d^2y}{(dx)^2}$, ou même encore plus utilisé : $\dfrac{d^2y}{dx^2}$. De la même manière, on écrira pour la différentielle troisième $\dfrac{d^3y}{dx^3} = f'''(x)$.
Exemples Maintenant essayons avec : $y = f(x) = 7x^4 + 3.5x^3 - \frac{1}{2}x^2 + x - 2$. \begin{align*} \frac{dy}{dx} &= f'(x) = 28x^3 + 10.5x^2 - x + 1, \\ \frac{d^2y}{dx^2} &= f''(x) = 84x^2 + 21x - 1, \\ \frac{d^3y}{dx^3} &= f'''(x) = 168x + 21, \\ \frac{d^4y}{dx^4} &= f''''(x) = 168, \\ \frac{d^5y}{dx^5} &= f'''''(x) = 0. \end{align*} De la même manière si $y = \phi(x) = 3x(x^2 - 4)$, \begin{align*} \phi'(x) &= \frac{dy}{dx} = 3\bigl[x × 2x + (x^2 - 4) × 1\bigr] = 3(3x^2 - 4), \\ \phi''(x) &= \frac{d^2y}{dx^2} = 3 × 6x = 18x, \\ \phi'''(x) &= \frac{d^3y}{dx^3} = 18, \\ \phi''''(x) &= \frac{d^4y}{dx^4} = 0. \end{align*}
Trouver $\dfrac{dy}{dx}$ et $\dfrac{d^2y}{dx^2}$ pour les expressions suivantes :
(1) $y = 17x + 12x^2$.
(2) $y = \dfrac{x^2 + a}{x + a}$.
(3) $y = 1 + \dfrac{x}{1} + \dfrac{x^2}{1×2} + \dfrac{x^3}{1×2×3} + \dfrac{x^4}{1×2×3×4}$.
(4) Trouver les dérivées secondes et troisième des fonctions de l'exercice III. (ici), No. 1 à No. 7, et l'exemple donné (ici), No. 1 to No. 7.
(1) $17 + 24x$; $24$.
(2) $\dfrac{x^2 + 2ax - a}{(x + a)^2}$; $\dfrac{2a(a + 1)}{(x + a)^3}$.
(3) $1 + x + \dfrac{x^2}{1 × 2} + \dfrac{x^3}{1 × 2 × 3}$; $1 + x + \dfrac{x^2}{1 × 2}$.
Exercices III
(4) (Exercices III. ):
(1) (a ) $\dfrac{d^2 y}{dx^2} = \dfrac{d^3 y}{dx^3} = 1 + x + \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{6} x^3 + \ldots$.
(b ) $2a$, $0$.
(c ) $2$, $0$.
(d ) $6x + 6a$, $6$.
(2) $-b$, $0$.
(3) $2$, $0$.
(4) $\begin{gathered}[t] 56440x^3 - 196212x^2 - 4488x + 8192. \\ 169320x^2 - 392424x - 4488. \end{gathered}$
(5) $2$, $0$.
(6) $371.80453x$, $371.80453$.
(7) $\dfrac{30}{(3x + 2)^3}$, $-\dfrac{270}{(3x + 2)^4}$.
Exemples :
(1) $\dfrac{6a}{b^2} x$, $\dfrac{6a}{b^2}$.
(2) $\dfrac{3a \sqrt{b}} {2 \sqrt{x}} - \dfrac{6b \sqrt[3]{a}}{x^3}$, $\dfrac{18b \sqrt[3]{a}}{x^4} - \dfrac{3a \sqrt{b}}{4 \sqrt{x^3}}$.
(3) $\dfrac{2}{\sqrt[3]{\theta^8}} - \dfrac{1.056}{\sqrt[5]{\theta^{11}}}$, $\dfrac{2.3232}{\sqrt[5]{\theta^{16}}} - \dfrac{16}{3 \sqrt[3]{\theta^{11}}}$.
(4) $\begin{gathered}[t] 810t^4 - 648t^3 + 479.52t^2 - 139.968t + 26.64. \\ 3240t^3 - 1944t^2 + 959.04t - 139.968. \end{gathered}$
(5) $12x + 2$, $12$.
(6) $6x^2 - 9x$, $12x - 9$.
(7)
$\begin{aligned}[t]
&\dfrac{3}{4} \left(\dfrac{1}{\sqrt{\theta}} + \dfrac{1}{\sqrt{\theta^5}}\right)
+\dfrac{1}{4} \left(\dfrac{15}{\sqrt{\theta^7}} - \dfrac{1}{\sqrt{\theta^3}}\right). \\
&\dfrac{3}{8} \left(\dfrac{1}{\sqrt{\theta^5}} - \dfrac{1}{\sqrt{\theta^3}}\right)
-\dfrac{15}{8}\left(\dfrac{7}{\sqrt{\theta^9}} + \dfrac{1}{\sqrt{\theta^7}}\right).
\end{aligned}$