Notions de Mathématiques

Table des matières

Introduction — Qu'est-ce qu'un polynôme ?
1. Définition et vocabulaire
2. Exemples fondamentaux

On pourrait commencer par dire que les polynômes sont parmi les objets mathématiques les plus anciens et les plus utiles. On les retrouve partoutIls apparaissent en algèbre, en analyse, en géométrie et en informatique. Commençons par les construire depuis zéro.

Mais le point leplus pertientn est de regarder tout d'abord l'éthymologie de ce mot. Il est composé de $poly$, plusieurs en grecs ancien et $nôme$ qui est la version française du grec nomos, qui lui veut dire sujet, ou élément.

1.1 Définition et vocabulaire

Définition — Monôme Un monôme est une expression de la forme $a\,x^n$ où $a$ est un réel appelé coefficient et $n$ est un entier naturel appelé degré du monôme.

Définition — Polynôme Un polynôme en la variable $x$, à coefficients dans $\mathbb{R}$, est une somme finie de monômes :

\[ P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_1 x + a_0 = \sum_{k=0}^{n} a_k x^k \]

où $a_0, a_1, \ldots, a_n \in \mathbb{R}$.

Les $a_k$ sont les coefficients du polynôme.
$a_0$ est le terme constant (ou terme indépendant).
Si $a_n \neq 0$, on dit que $P$ est de degré $n$, noté $\deg(P) = n$, et $a_n$ est le coefficient dominant.
Si le coefficient dominant vaut 1, le polynôme est dit unitaire (ou monique).
Le polynôme nul (tous coefficients nuls) est noté $0$ ; sa convention de degré est $-\infty$.

Remarque — Notation On note souvent $\mathbb{R}[x]$ l'ensemble de tous les polynômes à coefficients réels. Plus généralement, $\mathbb{K}[x]$ désigne les polynômes à coefficients dans un corps $\mathbb{K}$ (par exemple $\mathbb{Q}$, $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$).

1.2 Exemples fondamentaux

Exemples

$P(x) = 3$ — polynôme constant, degré 0.
$P(x) = 2x - 5$ — polynôme du premier degré (affine), degré 1, coefficient dominant 2.
$P(x) = x^2 - 3x + 2$ — polynôme du second degré, degré 2, unitaire.
$P(x) = -4x^3 + x - 7$ — degré 3, coefficient dominant $-4$, terme constant $-7$.
$P(x) = x^5$ — monôme de degré 5, unitaire.
$P(x) = 0$ — polynôme nul, degré $-\infty$ par convention.

Propriété — Égalité de polynômes Deux polynômes $P = \sum a_k x^k$ et $Q = \sum b_k x^k$ sont égaux si et seulement si tous leurs coefficients sont égaux terme à terme :

\[ P = Q \iff \forall k,\; a_k = b_k \]

Autrement dit, on peut identifier les coefficients des deux membres d'une égalité polynomiale.

Exemple — Identification des coefficients On cherche $a, b, c$ tels que $P(x) = ax^2 + bx + c = 2x^2 - 3x + 1$ pour tout $x$.
Par identification : $a = 2$, $b = -3$, $c = 1$.

Exercice 1.1

Identifier les éléments d'un polynôme

Soit $P(x) = -5x^4 + 0 \cdot x^3 + 3x^2 - x + 8$.

Quel est le degré de $P$ ?
Quel est le coefficient dominant ?
Quel est le terme constant ?
$P$ est-il unitaire ?

Voir la correction

1. Le terme de plus haut degré est $-5x^4$, donc $\deg(P) = 4$. 2. Le coefficient dominant est $-5$. 3. Le terme constant est $a_0 = 8$. 4. $P$ n'est pas unitaire car le coefficient dominant vaut $-5 \neq 1$.

Exercice 1.2

Trouver des coefficients par identification

Déterminer les réels $a$, $b$, $c$ tels que :

\[ a(x+1)^2 + b(x+1) + c = 3x^2 + x - 2 \quad \forall x \in \mathbb{R} \]

Voir la correction

Développement du membre gauche $ a(x^2 + 2x + 1) + b(x+1) + c = ax^2 + (2a+b)x + (a+b+c) $ Identification coefficient par coefficient Degré 2 : $a = 3$ Degré 1 : $2a + b = 1 \Rightarrow b = 1 - 6 = -5$ Degré 0 : $a + b + c = -2 \Rightarrow c = -2 - 3 + 5 = 0$ $a = 3,\quad b = -5,\quad c = 0$

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Introduction — Qu'est-ce qu'un polynôme ?

1.1 Définition et vocabulaire

1.2 Exemples fondamentaux

Identifier les éléments d'un polynôme

Trouver des coefficients par identification