Les polynômes, présentation complète

Des premières définitions aux espaces vectoriels

Lycée / Supérieur
Table des matières
  1. Opérations sur les polynômes
    1. Addition et soustraction
    2. Multiplication
    3. Division euclidienne
2
Chapitre 2

Opérations sur les polynômes

2.1 Addition et soustraction

Définition — Somme La somme de deux polynômes \(P = \sum a_k x^k\) et \(Q = \sum b_k x^k\) est obtenue en additionnant les coefficients de même degré :
\[ (P + Q)(x) = \sum_k (a_k + b_k)\,x^k \]
Propriété — Degré de la somme \[ \deg(P + Q) \leq \max(\deg P,\, \deg Q) \] L'inégalité est stricte si les termes de plus haut degré se compensent.
Exemple Soit \(P(x) = 3x^3 - 2x + 1\) et \(Q(x) = -3x^3 + x^2 + 4\).
\[ P(x) + Q(x) = (3-3)x^3 + x^2 + (-2)x + (1+4) = x^2 - 2x + 5 \]
Ici \(\deg(P) = \deg(Q) = 3\) mais \(\deg(P+Q) = 2\) : il y a bien compensation des termes de degré 3.

2.2 Multiplication

Définition — Produit Le produit de \(P = \sum_{i=0}^n a_i x^i\) et \(Q = \sum_{j=0}^m b_j x^j\) est :
\[ (P \cdot Q)(x) = \sum_{k=0}^{n+m} c_k\, x^k \quad \text{où} \quad c_k = \sum_{i+j=k} a_i b_j \]
Propriété — Degré du produit Si \(P \neq 0\) et \(Q \neq 0\) :
\[ \deg(P \cdot Q) = \deg(P) + \deg(Q) \]
En particulier \(\mathbb{R}[x]\) est un anneau intègre : le produit de deux polynômes non nuls est non nul.
Exemple détaillé Calculer \((2x^2 - 3x + 1)(x + 4)\).
\begin{align} &= 2x^2 \cdot x + 2x^2 \cdot 4 + (-3x)\cdot x + (-3x)\cdot 4 + 1 \cdot x + 1 \cdot 4\\ &= 2x^3 + 8x^2 - 3x^2 - 12x + x + 4\\ &= 2x^3 + 5x^2 - 11x + 4 \end{align}

2.3 Division euclidienne

Théorème — Division euclidienne des polynômes Soient \(A, B \in \mathbb{R}[x]\) avec \(B \neq 0\). Il existe un unique couple \((Q, R)\) de polynômes tel que :
\[ A = B \cdot Q + R \quad \text{avec} \quad \deg(R) < \deg(B) \]
\(Q\) est appelé le quotient et \(R\) le reste de la division de \(A\) par \(B\).
Si \(R = 0\), on dit que \(B\) divise \(A\).
Exemple — Division de \(A = x^3 - 2x^2 + 3x - 4\) par \(B = x - 1\)

On effectue la division en colonne :

\begin{array}{r|l} x^3 - 2x^2 + 3x - 4 & x - 1\\ \hline -(x^3 - x^2) & x^2 - x + 2\\ \hline -x^2 + 3x - 4 & \\ -(-x^2 + x) & \\ \hline 2x - 4 & \\ -(2x - 2) & \\ \hline -2 & \end{array}
Donc \(x^3 - 2x^2 + 3x - 4 = (x-1)(x^2 - x + 2) - 2\). Le quotient est \(x^2 - x + 2\) et le reste est \(-2\).
Remarque — Cas particulier important Lorsqu'on divise \(A(x)\) par \((x - a)\), le reste est simplement \(A(a)\). C'est le théorème de Bézout (ou de la valeur numérique).
Exercice 2.1

Addition et multiplication de polynômes

Soient \(P(x) = x^2 - 4\) et \(Q(x) = x + 2\).

  1. Calculer \(P(x) + Q(x)\).
  2. Calculer \(P(x) \cdot Q(x)\) et factoriser le résultat.
Voir la correction
1. Addition \(P + Q = x^2 - 4 + x + 2 = x^2 + x - 2\) 2. Multiplication \(P \cdot Q = (x^2 - 4)(x + 2) = (x-2)(x+2)(x+2) = (x-2)(x+2)^2\) On reconnaît \(x^2 - 4 = (x-2)(x+2)\), donc : \(P \cdot Q = (x-2)(x+2)^2\)
Exercice 2.2

Division euclidienne

Effectuer la division euclidienne de \(A(x) = 2x^3 + x^2 - 5x + 2\) par \(B(x) = x^2 - 1\).

Voir la correction
Étape 1 — terme de degré 3 \(2x^3 \div x^2 = 2x\). On soustrait \(2x(x^2 - 1) = 2x^3 - 2x\). Reste intermédiaire : \(x^2 - 3x + 2\). Étape 2 — terme de degré 2 \(x^2 \div x^2 = 1\). On soustrait \(1 \cdot (x^2 - 1) = x^2 - 1\). Reste final : \(-3x + 3\). Degré 1 < degré de \(B\) = 2. On s'arrête. Résultat \(2x^3 + x^2 - 5x + 2 = (x^2 - 1)(2x + 1) + (-3x + 3)\) Vérification : \((x^2-1)(2x+1) = 2x^3 + x^2 - 2x - 1\), puis \(+(-3x+3) = 2x^3+x^2-5x+2\) ✓
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