Les polynômes, présentation complète

Des premières définitions aux espaces vectoriels

Lycée / Supérieur
Table des matières
  1. Racines et factorisation
    1. Racines d'un polynôme
    2. Théorème de factorisation
    3. Cas des degrés 1 et 2
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Chapitre 3

Racines et factorisation

3.1 Racines d'un polynôme

Définition — Racine Un réel \(a\) est une racine (ou zéro) du polynôme \(P\) si \(P(a) = 0\).

On dit que \(a\) est une racine de multiplicité \(m \geq 1\) si \((x - a)^m\) divise \(P\) mais \((x-a)^{m+1}\) ne divise pas \(P\). Une racine de multiplicité 1 est dite simple, de multiplicité 2 double, etc.
Théorème — Caractérisation par division \(a\) est racine de \(P\) si et seulement si \((x - a)\) divise \(P\), c'est-à-dire :
\[ P(a) = 0 \iff \exists Q \in \mathbb{R}[x],\; P(x) = (x - a)\,Q(x) \]
De plus : \(\deg Q = \deg P - 1\).
Théorème — Nombre de racines Un polynôme non nul de degré \(n\) possède au plus \(n\) racines dans \(\mathbb{R}\) (comptées avec multiplicité).

Conséquence fondamentale : si deux polynômes de degré \(\leq n\) coïncident en \(n+1\) points, ils sont égaux.

3.2 Théorème de factorisation

Théorème — Factorisation complète sur \(\mathbb{R}\) Tout polynôme de degré \(n \geq 1\) à coefficients réels se factorise de façon unique (à l'ordre près) comme :
\[ P(x) = a_n \prod_{i=1}^{r}(x - \alpha_i)^{m_i} \prod_{j=1}^{s}(x^2 + p_j x + q_j)^{n_j} \]
où les \(\alpha_i\) sont les racines réelles (de multiplicités \(m_i\)) et les \(x^2 + p_j x + q_j\) sont des facteurs du second degré sans racine réelle (discriminant \(< 0\)).

Sur \(\mathbb{C}\), la factorisation est complète : tout polynôme de degré \(n\) a exactement \(n\) racines complexes (comptées avec multiplicité). C'est le théorème fondamental de l'algèbre.

3.3 Cas des degrés 1 et 2

Propriété — Degré 1 Tout polynôme \(P(x) = ax + b\) (\(a \neq 0\)) possède exactement une racine réelle : \(x_0 = -\dfrac{b}{a}\).
Propriété — Degré 2 : discriminant Pour \(P(x) = ax^2 + bx + c\) (\(a \neq 0\)), on pose \(\Delta = b^2 - 4ac\).
  • \(\Delta > 0\) : deux racines réelles distinctes \(x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}\), et \(P(x) = a(x - x_1)(x - x_2)\).
  • \(\Delta = 0\) : une racine double \(x_0 = -\dfrac{b}{2a}\), et \(P(x) = a(x - x_0)^2\).
  • \(\Delta < 0\) : aucune racine réelle ; \(P\) est irréductible sur \(\mathbb{R}\).
De plus : \(x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a}\) et \(x_1 x_2 = \dfrac{c}{a}\) (relations de Viète).
Exemple complet — Factorisation de degré 3 Factoriser \(P(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6\).

Étape 1 — Chercher une racine entière. Les candidats sont les diviseurs de 6 : \(\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6\).
\(P(1) = 1 - 6 + 11 - 6 = 0\) ✓ — donc \((x-1)\) est un facteur.

Étape 2 — Division euclidienne par \((x-1)\) :
\[ x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = (x-1)(x^2 - 5x + 6) \]
Étape 3 — Factoriser \(x^2 - 5x + 6\) : \(\Delta = 25 - 24 = 1\), racines \(2\) et \(3\).
\[ P(x) = (x-1)(x-2)(x-3) \]
Exercice 3.1

Trouver les racines et factoriser

Factoriser complètement \(P(x) = 2x^3 - 3x^2 - 11x + 6\).

Voir la correction
Recherche d'une racine entière (diviseurs de 6 / 2) \(P(3) = 54 - 27 - 33 + 6 = 0\) ✓ Division par \((x-3)\) \(2x^3 - 3x^2 - 11x + 6 = (x-3)(2x^2 + 3x - 2)\) Discriminant de \(2x^2 + 3x - 2\) \(\Delta = 9 + 16 = 25\), racines : \(x = \dfrac{-3 \pm 5}{4}\) \(x_1 = \dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2}\) et \(x_2 = \dfrac{-8}{4} = -2\) \(P(x) = 2(x-3)\!\left(x - \dfrac{1}{2}\right)(x+2) = (x-3)(2x-1)(x+2)\)
Exercice 3.2

Relations de Viète

Sans calculer les racines, déterminer la somme et le produit des racines de \(P(x) = 3x^2 - 7x + 4\). Vérifier ensuite en calculant les racines.

Voir la correction
Relations de Viète (\(a=3, b=-7, c=4\)) Somme : \(x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a} = \dfrac{7}{3}\) Produit : \(x_1 x_2 = \dfrac{c}{a} = \dfrac{4}{3}\) Vérification : \(\Delta = 49 - 48 = 1\) \(x_1 = \dfrac{7+1}{6} = \dfrac{8}{6} = \dfrac{4}{3}\), \(\quad x_2 = \dfrac{7-1}{6} = 1\) Somme : \(\dfrac{4}{3} + 1 = \dfrac{7}{3}\) ✓    Produit : \(\dfrac{4}{3} \times 1 = \dfrac{4}{3}\) ✓
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