L'arithmétique des polynômes est calquée sur celle des entiers : on retrouve les notions de divisibilité, PGCD et irréductibilité, avec des résultats et des algorithmes analogues.
4.1 Divisibilité
Définition
On dit que \(B\) divise \(A\) (noté \(B \mid A\)) s'il existe \(Q \in \mathbb{R}[x]\) tel que \(A = BQ\). On dit aussi que \(A\) est un multiple de \(B\).
Propriété — Critère de divisibilité
\((x - a) \mid P(x) \iff P(a) = 0\).
Plus généralement, \((x-a)^m \mid P(x) \iff P(a) = P'(a) = \cdots = P^{(m-1)}(a) = 0\).
4.2 PGCD et algorithme d'Euclide
Définition — PGCD
Le plus grand commun diviseur de \(A\) et \(B\) (non tous deux nuls), noté \(\gcd(A, B)\), est le polynôme unitaire de plus grand degré divisant à la fois \(A\) et \(B\).
Théorème — Algorithme d'Euclide
On effectue des divisions euclidiennes successives jusqu'à obtenir un reste nul. Le dernier reste non nul (rendu unitaire) est le PGCD :
Théorème de Bézout pour les polynômes
Pour tous \(A, B \in \mathbb{R}[x]\) non tous nuls, il existe \(U, V \in \mathbb{R}[x]\) tels que :
\[ AU + BV = \gcd(A, B) \]
En particulier, \(A\) et \(B\) sont premiers entre eux (\(\gcd = 1\)) si et seulement si il existe \(U, V\) avec \(AU + BV = 1\).
4.3 Polynômes irréductibles
Définition — Irréductible
Un polynôme \(P\) de degré \(\geq 1\) est irréductible sur \(\mathbb{K}\) s'il ne peut pas s'écrire comme produit de deux polynômes de degré strictement inférieur au sien (à coefficients dans \(\mathbb{K}\)).
Propriété — Irréductibles sur \(\mathbb{R}\) et \(\mathbb{C}\)
Sur \(\mathbb{C}\) : les seuls irréductibles sont les polynômes de degré 1.
Sur \(\mathbb{R}\) : les irréductibles sont les polynômes de degré 1 et les polynômes de degré 2 à discriminant strictement négatif.
Sur \(\mathbb{Q}\) : la situation est plus complexe (ex. \(x^2 - 2\) est irréductible sur \(\mathbb{Q}\) mais pas sur \(\mathbb{R}\)).
Exemple — PGCD par l'algorithme d'Euclide
Calculer \(\gcd(A, B)\) avec \(A = x^3 - x\) et \(B = x^2 - 1\).
\begin{align}
x^3 - x &= (x^2 - 1) \cdot x + 0
\end{align}
Le reste est immédiatement 0 (car \(x^3 - x = x(x^2 - 1)\)), donc \(\gcd(A, B) = x^2 - 1\).
En unitaire : \(\gcd = x^2 - 1\) (déjà unitaire).
Exercice 4.1
Algorithme d'Euclide
Calculer \(\gcd(A, B)\) avec \(A(x) = x^4 - 1\) et \(B(x) = x^3 - 1\).