Les polynômes, présentation complète

Des premières définitions aux espaces vectoriels

Lycée / Supérieur
Table des matières
  1. Polynômes et fonctions
    1. Fonction polynomiale
    2. Dérivation
    3. Polynômes de Taylor
5
Chapitre 5

Polynômes et fonctions

5.1 Fonction polynomiale

Définition À tout polynôme \(P \in \mathbb{R}[x]\) on associe la fonction polynomiale :
\[ \tilde{P} : \mathbb{R} \to \mathbb{R},\quad x \mapsto P(x) \]
Sur \(\mathbb{R}\) (corps infini), l'application \(P \mapsto \tilde{P}\) est un isomorphisme : deux polynômes distincts définissent des fonctions distinctes.
Remarque importante Cette identification polynôme/fonction n'est plus vraie sur un corps fini ! Par exemple, sur \(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\), les polynômes \(x\) et \(x^2\) sont distincts mais définissent la même fonction.

5.2 Dérivation des polynômes

Définition — Dérivée formelle La dérivée formelle de \(P(x) = \sum_{k=0}^n a_k x^k\) est :
\[ P'(x) = \sum_{k=1}^{n} k\, a_k\, x^{k-1} \]
L'opération de dérivation \(P \mapsto P'\) est linéaire sur \(\mathbb{R}[x]\) :
\[ (\lambda P + \mu Q)' = \lambda P' + \mu Q' \]
Propriétés de la dérivation
  • Règle du produit : \((PQ)' = P'Q + PQ'\)
  • Règle de puissance : \((x^n)' = nx^{n-1}\)
  • Degré : \(\deg(P') = \deg(P) - 1\) si \(\deg(P) \geq 1\) ; \(0' = 0\).
  • Multiplicité : \(a\) est racine de multiplicité \(m \geq 2\) de \(P\) ssi \(a\) est racine de multiplicité \(m-1\) de \(P'\).
Exemple — Dérivées successives \(P(x) = 3x^4 - 2x^3 + x^2 - 5x + 7\)
\begin{align} P'(x) &= 12x^3 - 6x^2 + 2x - 5\\ P''(x) &= 36x^2 - 12x + 2\\ P'''(x) &= 72x - 12\\ P^{(4)}(x) &= 72\\ P^{(5)}(x) &= 0 \end{align}

5.3 Polynômes de Taylor

Théorème — Formule de Taylor pour les polynômes Tout polynôme \(P\) de degré \(n\) peut s'écrire dans la base des \((x-a)^k\) :
\[ P(x) = \sum_{k=0}^{n} \frac{P^{(k)}(a)}{k!}\,(x - a)^k \]
C'est le développement de Taylor en \(a\) de \(P\). Pour un polynôme, ce développement est exact (contrairement au cas des fonctions générales où il n'est qu'approché).
Exemple — Taylor en \(a = 1\) de \(P(x) = x^3\)
\begin{align} P(1) &= 1,\quad P'(1) = 3,\quad P''(1) = 6,\quad P'''(1) = 6\\[4pt] x^3 &= 1 + 3(x-1) + \frac{6}{2}(x-1)^2 + \frac{6}{6}(x-1)^3\\ &= 1 + 3(x-1) + 3(x-1)^2 + (x-1)^3 \end{align}
On peut vérifier en développant \((1 + (x-1))^3\) par le binôme de Newton.
Exercice 5.1

Dérivation et multiplicité

Soit \(P(x) = (x-2)^3(x+1)\).

  1. Calculer \(P'(x)\) (sans développer \(P\) entièrement).
  2. Quelles sont les racines de \(P'\) et leurs multiplicités ?
Voir la correction
1. Règle du produit \(P' = 3(x-2)^2(x+1) + (x-2)^3 \cdot 1 = (x-2)^2\bigl[3(x+1) + (x-2)\bigr]\) \(= (x-2)^2(4x + 1)\) 2. Racines de \(P'\) \(x = 2\) : racine double (multiplicité 2) \(x = -\frac{1}{4}\) : racine simple Cohérent avec le fait que 2 est racine de multiplicité 3 de \(P\), donc multiplicité 2 de \(P'\).
Exercice 5.2

Développement de Taylor

Écrire \(P(x) = x^2 + 3x - 4\) sous la forme \(a(x-1)^2 + b(x-1) + c\).

Voir la correction
Méthode : formule de Taylor en \(a = 1\) \(P(1) = 1 + 3 - 4 = 0 \Rightarrow c = 0\) \(P'(x) = 2x + 3 \Rightarrow P'(1) = 5 \Rightarrow b = 5\) \(P''(x) = 2 \Rightarrow \dfrac{P''(1)}{2!} = 1 \Rightarrow a = 1\) \(P(x) = (x-1)^2 + 5(x-1)\) Vérification : \((x-1)^2 + 5(x-1) = x^2 - 2x + 1 + 5x - 5 = x^2 + 3x - 4\) ✓
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