Le calcul littérale est par définition, un calcul opéré à l'aide de chiffres et de lettres.
Une lettre dans une expression mathématiques signifie en général une variable ou une inconnue. Une autre possibilité est que la lettre en question représente une constante. Par exemple $e$, la constante d'Euler, $g$, la gravité, ou encore $h$ la constante de Planck. En général selon le contexte, on doit savoir quelles sont les constantes en jeu dans les expression avec lesquelles on joue.
Définition : Une variable est une donnée qui parcourt un ensemble de valeurs.
Définition : Une incunnue est une information souvent portée par une lettre, dont on cherche la valeur si elle existe qui réponde à une formule.
Donc pour le reste, lorsque l'on a des lettres dans une expression mathématiques, elles représentent une variable ou une inconnue. Voici trois exemples pour clarifier les choses :
Soit l'équation $3x+1=4$. Dans cette expression, $x$ représente une inconnue, dont on cherche la valeur pour que l'égalité soit résolue. $x=1$ fonctionne. Reste à prouver que cette solution est la seule à cette équation.
Soit $f(x) = x²-3x+2, \,\, x \in \mathbb{R}$. Cette expression est la formulation d'une fonction $f$ de la variable $x$. On voit dans l'énoncé que $x \in \mathbb{R}$. Cela signifie que $f$ représente les valeurs de l'expression $x²-3x+2$ pour chaque valeur de $x$
Et soit encore une fonction $g$; que l'on définie comme ceci: $g(x)=x³+m.x+1, \, \, x \in [-10;10]$ une fonction polynomiale, où $m$ est un paramètre.
Le graphe ci dessous permet de comprendre visuellement les modifications de $m$ sur la courbe.
La fonction $g$ est représentée par la courbe et on voit que le paramètre $m$ peut varier. Sa variation a une influence sur la forme de la courbe. Si ce genre de modélisation semble "compliquée", les pages suivantes vont permettre de se familiariser avec ces notions et donner les outils nécessaires pour analyser ces équations simplement et démystifier la complexité supposée.
Les exemples sont infinis, il faut simplement garder en tête que si on a des lettres dans une expression, on peut les ajouter, soustraire, multiplier, diviser ensemble ou par des nombres, etc, comme on va le voir par la suite.
Le calcul littéral est l'art de combiner des éléments entre eux selon leur nature
Quelques exemple élémentaires pour s'approprier le calcul littéral.
Soient les expressions $A$ et $B$ où $A = 2a + b - 4$ et $B = 3a-b +5$. Alors, calculons $A+B$. $$ A + B = 2a + b - 4 + 3a-b +5 = 2a+3a+b-b-4+5 = 5a + 1 $$ Que donnerai $A-B$? Dans ce cas, il faut appliquer le signe $-$ sur chaque monôme de $B$: $$ A - B = 2a + b - 4 -( 3a-b +5) = 2a-3a+b+b-4-5 = -a +2b -9 $$ On peut aussi multiplier une de ces deux expression par un réel, par exemple calculons $3B$: $$ 3B = 3( 3a-b +5) = 9a -3b +15 $$ On peut donc maintenant calculer $2A-3B$: $$ 2A-3B = 2.(2a + b - 4) -3.( 3a-b +5) = 4a+2b-8-9a+3b-15 = -5a+5b-23 \, . $$
Pour $a, b , c$ réels, on a la formule suivante: \[ a(b + c) = ab + ac \] On dit de $a$ qu'il se distribue sur la parenthèse.
De la même manière pour $a, b , c, d$ réels, on a la formule suivante: \[ (a+b)(c+d) = ac + ad + bc+bd \]
Par exemple : \[ (2x+5)(3x-2) = 2x.3x + 2x(-2) + 5.3x + 5.(-2) = 6x^2-4x+15x-10 = 6x^2 +11x-10 \]
Exercices : \[ (x+1)(x-2) ; (-x+4)(x-5) ; (-2x-3)(2-x) ; (-7x+1)(x-7) \]
\[ (x+1)(x-2) = x.x+1x-2x+1.(-2) = x^2 -x-2 \] \[ (-x+4)(x-5) =-x.x -x.(-5) + 4x+4.(-5) = -x^2+9x-20 \] \[ (-2x-3)(2-x) =-4x+4x^2-6+3x = 4x^2-x-6 \] \[ (-7x+1)(x-7) = -7x^2 +49x+x-7 = -7x^2 +50x -7 \]
Exercices : \[ (2x+2)(7x-1)(5-x) ; x(x+1)(x+2)(x+3)(x+4) ; \]
\[ 3x + 2x = 5x \]
\[ 7a - 2a = 5a \]
\[ 2x + 3y - x + y = x + 4y \]
En résumé on doit savoir ajouter des quantités égales entre elles. Petite remarque, une même quantité à des puissances différentes ne s'ajoutent pas, au mieux elles se factorisent.La factorisation permet de simplifier des expressions mathématiques. On part d'une écriture donnée et on cherche à supprimer les redondances. Factoriser revient à extraire un élément d'une expression pour ne le répéter qu'une fois.
Exemple canonique : \[ ab + ac = a(b + c) \]
\[ a^2 - b^2 = (a + b)(a - b) \]
\[ a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2 \]
\[ a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2 \]
\[ (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \]
\[ (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \]
\[ (a + b)(a - b) = a^2 - b^2 \]
Pour deux monômes en $x$ avec $k, c, m, d$ des nombres réels \[ (kx + c)(mx + d) = kmx^2 + (kd + cm)x + cd \]
Voir les exercices ci dessus pour se familiariser avec ces calculs.| Nom | Forme développée | Forme factorisée |
|---|---|---|
| Carré d'une somme | \(a^2 + 2ab + b^2\) | \((a + b)^2\) |
| Carré d'une différence | \(a^2 - 2ab + b^2\) | \((a - b)^2\) |
| Différence de deux carrés | \(a^2 - b^2\) | \((a + b)(a - b)\) |
Si \(x = 2\), alors :
\[ 3x + 5 = 3 \times 2 + 5 = 11 \]
\[ (x + 1)^2 = (2 + 1)^2 = 9 \]
Les fractions, objets de type $\dfrac{a}{b}$ avec $a$ un réel quelconque et $b$, aussi un réel mais non nul. $a$ est le numérateur et $b$ est le dénominateur.
Une première manière de comprendre les fractions est des les voir comme des divisions. $\dfrac{a}{b}$ est la division de $a$ par $b$. division au sens classique du terme, où le résultat donne le nombre de fois qu'il y a $b$ dans $a$. Par exemple $\dfrac{30}{5}$ est lue trente cinquième, à savoir dans 30, combien y a-t-il de fois 5. Comme 6 $\times$ 5 = 30, on a $\dfrac{30}{5} = 6$
On verra que les numérateurs et dénominateurs des fractions peuvent prendre des valeurs diverses et variées. Cela peut être des polynômes, des fonctions à part entière... Quoi qu'il en soit il faut être à l'aide avec la notion de fraction et leurs opérations, à commencer par la simplification.
La simplification des fractions est une des bêtes noire de trop d'élèves alors que le principe est simple si on suit pas à pas l'algorithme de simplification d'une fraction.
Algorithme en détail :
Une douzaine d'exemples :
Les fractions:\[ \begin{aligned} 1.\quad & \frac{12}{18} = \\[8pt] 2.\quad & \frac{9}{15} = \\[8pt] 3.\quad & \frac{20}{28} = \\[8pt] 4.\quad & \frac{16}{24} =\\[8pt] 5.\quad & \frac{18}{27} = \\[8pt] 6.\quad & \frac{25}{35} = \\[8pt] 7.\quad & \frac{14}{49} = \\[8pt] 8.\quad & \frac{30}{45} = \\[8pt] 9.\quad & \frac{27}{36} = \\[8pt] 10.\quad & \frac{42}{56} = \\[8pt] 11.\quad & \frac{3x^3}{6x^2} = \\[8pt] 12.\quad & \frac{x^2-1}{x+1} = \end{aligned} \\[8pt] \]
Les solutions :\[ \begin{aligned} 1.\quad & \frac{12}{18} = \frac{2^2 \times 3}{2 \times 3^2} = \frac{2 \times 1}{3} = \frac{2}{3} \\[8pt] 2.\quad & \frac{9}{15} = \frac{3^2}{3 \times 5} = \frac{3}{5} \\[8pt] 3.\quad & \frac{20}{28} = \frac{2^2 \times 5}{2^2 \times 7} = \frac{5}{7} \\[8pt] 4.\quad & \frac{16}{24} = \frac{2^4}{2^3 \times 3} = \frac{2}{3} \\[8pt] 5.\quad & \frac{18}{27} = \frac{2 \times 3^2}{3^3} = \frac{2}{3} \\[8pt] 6.\quad & \frac{25}{35} = \frac{5^2}{5 \times 7} = \frac{5}{7} \\[8pt] 7.\quad & \frac{14}{49} = \frac{2 \times 7}{7^2} = \frac{2}{7} \\[8pt] 8.\quad & \frac{30}{45} = \frac{2 \times 3 \times 5}{3^2 \times 5} = \frac{2}{3} \\[8pt] 9.\quad & \frac{27}{36} = \frac{3^3}{2^2 \times 3^2} = \frac{3}{4} \\[8pt] 10.\quad & \frac{42}{56} = \frac{2 \times 3 \times 7}{2^3 \times 7} = \frac{3}{4} \\[8pt] 11.\quad & \frac{3x^3}{6x^2} = \frac{x}{2} \\[8pt] 12.\quad & \frac{x^2-1}{x+1} = \frac{(x+1)(x-1)}{x+1} = x-1 \end{aligned} \\[8pt] \]
Deux fractions sont équivalentes si elles représentent la même valeur :
Exemple : \( \frac{1}{2} = \frac{2}{4} \).
Pour additionner ou soustraire des fractions, il faut un dénominateur commun :
Comme il faut un dénominateur commun pour additionner des fractions, lorsqu'ils sont différents, on doit les mettre sous le même dénominateur.
Aditionner les fractions suivantes
$$ \frac{1}{2} + \frac{1}{4} = $$ $$ \frac{3}{2} + \frac{2}{3} = $$ $$ \frac{1}{2} + \frac{5}{8} = $$ $$ \frac{5}{2} -\frac{4}{7} = $$ $$ \frac{7}{12} + \frac{5}{24} = $$ $$ \frac{8}{7}- \frac{5}{6} = $$ $$ \frac{4}{9} -\frac{7}{27} = $$ $$ \frac{6}{5} + \frac{1}{10} = $$Si les dénominateurs sont multiples l'un de l'autre, seule une fraction doit être multipliée.
ExempleOn multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux :
Diviser par une fraction revient à multiplier par son inverse :
Simplifier une fraction consiste à réduire ses termes en divisant le numérateur et le dénominateur par un même nombre non nul afin d'obtenir une fraction équivalente plus simple.
Pour simplifier au maximum une fraction, on divise le numérateur et le dénominateur par leur PGCD :
Exemple : \( \frac{18}{24} \), PGCD(18, 24) = 6, donc \( \frac{18}{24} = \frac{3}{4} \).
\( \frac{45}{60} \) : PGCD(45, 60) = 15, donc \( \frac{45}{60} = \frac{3}{4} \).
\( \frac{28}{35} \) : PGCD(28, 35) = 7, donc \( \frac{28}{35} = \frac{4}{5} \).
La puissance d’un nombre est le produit de ce nombre par lui-même un certain nombre de fois. Si \( a \) est un nombre et \( n \) un entier positif, alors :
Exemple : \( 3^4 = 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 81 \).
Pour tout \( a, b \) réels et \( m, n \) entiers :
\( 2^5 = 32 \)
\( 5^{-2} = \frac{1}{25} \)
\( (3^2)^3 = 3^{6} = 729 \)
\( 2^3 \times 2^4 = 2^{7} = 128 \)
Les différents calculs littéraux de base doivent être connus
On doit être à l'aise avec développement et factorisation
Il faut savoir reconnaitre des identités remarquables
Les puissances sont des opérations très souvent présentes en maths, d'où la nécessité d'être aussi à l'aise avec elles.
Tout ceci permet d'aborder les équations dans la suite.