Les quaternions

Multiplication

La multiplication des quaternions dépend de leur structure, composés d’un scalaire et d’un vecteur, la formule de la multiplication entre quaternion n’est pas intuitive au premier abord. Donc soient deux quaternions: $q_{1} = (a_{1}; b_{1}; c_{1}; d_{1})$ et $q_{2} = (a_{2}; b_{2}; c_{2}; d_{2})$. On peut aussi noter ces deux quaternions comme ceci: $$ q_{1} = (a_{1}; U_{1}) \\ q_{2} = (a_{2}; U_{2}) $$ Cette notation plus dense est la première utilisée pour expliciter le résultat du produit entre deux quaternions. On obtient donc: $$ q1.q2 = (a1.a2 − U_{1}.U_{2}; a1.U_{2} + a2.U_{1} + U_{1} ∧ U_{2}) $$ Où,$a1.a2 − U_{1}.U_{2}$ est la composante résultante scalaire et $a1.U_{2} + a2.U_{1} + U_{1} ∧ U_{2}$ la composante vectorielle.

On peut aussi donner une autre formule à partir des coordonnées complètes des deux quaternions. Avec $q_{1} $ et $q_{2}$ définit précédemment, posons: $$ q = q1.q2 $$ avec $$ q = (a; b; c; d) $$ et $$ q_{i} = (a_{i}; b_{i}; c_{i}; d_{i}) \, \, \text{pour} \, \,i = 1, 2 $$ Alors: $$ a = a_{1}.a_{2} − b_{1}.b_{2} − c_{1}.c_{2} − d_{1}.d_{2}, \\ b = a_{1}.b_{2} + b_{1}.a_{2} + c_{1}.d_{2} − d_{1}.c_{2}, \\ c = a_{1}.c_{2} + c_{1}.a_{2} − b_{1}.d_{2} + d_{1}.b_{2}, \\ d = a_{1}.d_{2} + d_{1}.a_{2} + b_{1}.c_{2} − c_{1}.b_{2} $$ Ce qui s'écrit en détail: \begin{align} q = & a_{1}.a_{2} − b_{1}.b_{2} − c_{1}.c_{2} − d_{1}.d_{2} \\ & +( a_{1}.b_{2} + b_{1}.a_{2} + c_{1}.d_{2} − d_{1}.c_{2})i \\ & +(a_{1}.c_{2} + c_{1}.a_{2} − b_{1}.d_{2} + d_{1}.b_{2})j \\ & +(a_{1}.d_{2} + d_{1}.a_{2} + b_{1}.c_{2} − c_{1}.b_{2})k \end{align} La multiplication entre quaternion est l'opération qui permet de les combiner entre eux. Par combiner, on entend "appliquer" un quaternion à un autre. Très rapidement pour appréhender ces manipulations de quaternions, on peut voir les quaternions (certains) comme des transformations. Ils permettent de représenter notamment les rotations. On reviendra plus loin à la relation entre rotation et quaternions. Mais pour l'instant il faut se familiariser avec d'autres notions qui bien que naturelles sont à décliner pour les quaternions.

Ce résultat provient de postulats propres aux quaternions, issus de l'analyse complexe. Par définition, ici, on a les résultats des produits des composantes complexes des quaternions entre elles. Premièrement: $$ i^{2} = j^{2} = k^{2} = -1 $$ Puis, on a: $$ ij = k ; jk = i; ki = j $$ Et comme le on a pour tout quaternions $p$ et $q$: $pq = -qp$ alors: $$ ij = -ji ; jk = -kj ; ki = -ik. $$

Pour s'entraîner sans avoir de trop longs calculs, donnez le résultat de: $q_{4} \times q_{6}$, $q_{4} $, $q_{8} \times q_{6} $, $q_{8} \times q_{4} $ , $q_{7} \times q_{6} $. Et $q_{6} \times q_{7} $ pour comparer avec le dernier résultat.

Norme d'un quaternion

Comme tout objet mathématique vivant dans un espace de dimension finie, ici $4$, on peut en mesurer sa taille, quie l'on appelle norme. La norme d'un quaternion est donnée par la relation suivante: $$ \parallel q \parallel = \sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}} $$ La norme d'un quaternion est la racine carrée de la somme de ses composant tous élevé au carré. Elle est strictement positive pour tout quaternion non nul.

Donner la norme des quaternions suivants: \begin{align*} q= 2+2i+2j+2k, \,\, \text{ donc } \, \parallel q \parallel = \\ q= 1+2i+2j+2k, \,\, \text{ donc } \, \parallel q \parallel = \\ q= -3/2+2j+2k, \,\, \text{ donc } \, \parallel q \parallel = \\ q= -12+i-2k, \,\, \text{ donc } \, \parallel q \parallel = \\ q= -2i+2j+2k, \,\, \text{ donc } \, \parallel q \parallel = \\ q= 3+j, \,\, \text{ donc } \, \parallel q \parallel = \\ q= 3i, \,\, \text{ donc } \, \parallel q \parallel = \\ q= -i+j-k, \,\, \text{ donc } \, \parallel q \parallel = \\ q= -1, \,\, \text{ donc } \, \parallel q \parallel = \\ q= 6+2i-2j-2k, \,\, \text{ donc } \, \parallel q \parallel = \\ q= 2-i+5j+3k, \,\, \text{ donc } \, \parallel q \parallel = \\\ q= \sqrt{2}+j-2k, \,\, \text{ donc } \, \parallel q \parallel = \\ q= -3\sqrt{2}+2i+2j+2k, \,\, \text{ donc } \, \parallel q \parallel = \\ q= -\sqrt{3}+2i+2j+2k, \,\, \text{ donc } \, \parallel q \parallel = \\ q= 6+j+k, \,\, \text{ donc } \, \parallel q \parallel = \\ q= -2j, \,\, \text{ donc } \, \parallel q \parallel = \\ \end{align*}

Normalisation d’un quaternion

Normaliser dans l'absolu c'est rendre conforme aux règles habituelles. En mathématiques, normaliser un élément c'est le transformer pour lui donner une taille valant $1$. Pour prendre un exemple représentatif, prenons le vecteur $\vec{u}$ dans la plan, de coordonnées $(3;4)$. La norme de ce vecteur vaut $\sqrt{3^{2}+4^{2}} = \sqrt{9+16}= \sqrt{25} =5 \geq 1$. On construit le vecteur $\vec{v}$ à partir du vecteur $\vec{u}$ en posant $\vec{v} = \dfrac{1}{5} \vec{u}$. $\vec{v}$ est de norme $1$. C'est le vecteur qui normalise le vecteur $\vec{u}$. On appelle vecteur de norme $1$ un vecteur unitaire. Normaliser un vecteur c'est le rendre unitaire. Pour dire encore autrement les choses, le vecteur $\vec{v}$ est le vecteur de norme $1$ obtenu à partir du vecteur $\vec{u}$. $\vec{v}$ a pour coordonnées $(3/5;4/5)$.

Pour qu'un quaternion puisse être une rotation, il doit être unitaire. Autrement dit la norme d'un quaternion représentant une rotation on doit contrôler qu'il est unitaire.

Soit $q=(a;b;c;d)$ un quaternion quelconque. Soit $q_{n}$ son quaternion normalisé. Alors: $$ q_{n} = \dfrac{1}{\parallel q \parallel}.q = \dfrac{1}{\parallel q \parallel}.(a;b;c;d) = ( \dfrac{a}{\parallel q \parallel}; \dfrac{b}{\parallel q \parallel}; \dfrac{c}{\parallel q \parallel}; \dfrac{d}{\parallel q \parallel}) $$ Un écriture plus détaillée en prenant en compte les composantes du quaternion: $$ q_{n} = ( \dfrac{a}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}}}; \dfrac{b}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}}}; \dfrac{c}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}}}; \dfrac{d}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}}}) $$

Inverse

L'ensemble des quaternions est tel que chaque quaternion ait un inverse. Autrement dit, quelque soit $q \neq 0$ dans l'ensemble des quaternions il existe un quaternion $q'$ tel que $$ qq' = q'q = 1 $$ Dans le cas des quaternions, cet inverse est égal au conjugué multiplié par l'inverse de la norme. On a, pour tout $ q $ quaternion non nul : $$ q^{-1} = \dfrac{q^{\star}}{ \parallel q \parallel }= \dfrac{q^{\star}}{ \sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}} } $$ $$ q^{-1} = ( \dfrac{a}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}}}; \dfrac{-b}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}}}; \dfrac{-c}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}}}; \dfrac{-d}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}}}) $$ Si un quaternion définit une rotation, son inverse définit la rotation inverse. La formule précédente permet de la trouver facilement. Du moment que l'on a le quaternion de la rotation initiale.

Par ailleurs, on remarque que l'inverse d'un quaternion unitaire est son conjugué, soit $q$ tel que $\vert q \vert = 1$, alors: $$ qq^{\star} = q^{\star}q = 1 $$

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