Les différents ensembles de nombres et les premières règles de calculs.
Par fondation il est entendu, depuis le début toutes les notions que l'on apprend progressivement, pour pouvoir jouer avec des notions de plus en plus riches. On commence par savoir compter puis jouer avec les nombres, de différentes manières.
On part du début pour présenter tous les concepts nécessaires pour construire son savoir en mathématiques.
Cherchez à comprendre les formules et la manière dont on les applique. Avant de les connaître, il faut les comprendre. A force, on apprend ce dont on se sert. Donc il faut se concentrer sur la compréhension de ces définitions, théorèmes et autres formules. Donc en résumé, on pratique les maths, puis par la force des choses on les sait.
Voici quelques prérequis à tout ce qui suit. Cet apprentissage initial, ou simple rappel peut paraître plutôt rébarbatif. Il est bon de savoir ces résultats par coeur pour aller plus vite. Pour calculer plus rapidement. Il est compliqué de vouloir s'atteler aux maths en se disant que l'on va pouvoir se passer de bases qui sont du point de vue du langage pathématique les alphabets nécessaires à la réflexion sur des sujets plus riches. Sur tout type de smatphone il existe des applications pour se perfectionner en calcul mental à partir de zéro. Au dbut, on apprend à aller vite sur $8 \times 7$ et rapidement $58 \times 62$ devient évident. Spoiler alert, ceci est une astuce issue des identités remarquables. Donc, quelques notions de base pour commencer:
Savoir compter...
Savoir compter avec les nombres paires;
Avec les nombres impaires;
Les multiples de trois;
Connaître des carrés, 4, 9, 16, 25, ... 10 000;
Et réciproquement quelques racines;
La division euclidienne;
Les nombres premiers;
Les fractions;
Les proportions;
Les suites;
Un peu de géométrie...
On a les ensembles suivants :
$\mathbb{N}$ : les entiers naturels $e.g$ $0 ; 1 ; 2 ; 3 ; ...$;
$\mathbb{Z}$ : les entiers relatifs, à savoir les nombres avec un signe, $+$ ou $-$;
$\mathbb{D}$ : Les nombres décimaux, où les nombres à virgules finis;
$\mathbb{Q}$ : les rationnels, toutes les fractions de nombres relatifs, $1/3$ par exemple n'est pas un décimal mais un rationnel;
$\mathbb{R}$ : les nombres réèls, à savoir tous les nombres, $\sqrt{2}$, $\pi$, ....
$\mathbb{C}$ : les nombres complexes, sont construitsà partir de l'imaginaire $i$, qui est tel que $i^2=-1$.
Et cette relation d'inclusion :
$$ \mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{D} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} \subset \mathbb{C} $$
Il existe d'autres ensembles de nombres tels que les transcendantaux, algébriques, irrationnels, ... Un jour j'écrirai une page sur le sujet, mais on peut déjà regarder cette vidéo :
Plus de détails sur les différents ensembles de nombres.
Maintenant que l'on a vu les différents ensembles de nombres existant, on va réaliser des opérations entre ces nombres, commprendre comment les appliquer, pour plus tard remplacer ces nombres par des lettres.Comprendre l'associativité, la commutativité et la distributivité.
Associativité : $(a+b)+c =a+(b+c)$, e.g $(1+2)+3=1+(2+3)$
Commutativité : $a \times b = b \times a$.
Distributivité : $a.(b+c) = a.b + a.c$. Si le $a$ multiplie la parenthèse $(b+c)$, alors on retrouve le $a$ sur chaque terme de la parenthèse. Pensez que la distributivité porte bien son nom.
Pour cela il existe aussi une règle dont le nom est l'acronyme des priorités, dans le bon sens.
La règle PEMDAS, l'acronyme, définit l'ordre à suivre pour résoudre une expression mathématique comportant différentes opérations. Voici une explication claire et des exemples progressifs pour bien comprendre son application. L'ordre des opérations : PEMDAS. Il faut noter une dernière approche, trop implicite pour être citée : le sens de lecture. On lit de gauche à droite, donc on fait de même avec une opération, tout en respectant les priorités.
PEMDAS est un moyen mnémotechnique dont chaque lettre représente une étape à suivre dans le calcul :
Remarque: la multiplication peut être représentée de plusieurs façons:
Multiplication et division sont au même niveau de priorité, tout comme addition et soustraction. Si ces opérateurs sont présents ensemble, on les résout de gauche à droite.
Exemples progressifs Exemple 1 : Des additions
$5+2$ : juste une addition, on calcule : $5+2=7$
$7+3+12$ : une addition de trois termes, on calcule : $7+3+12=10+12=22$, etc.
Exemple 2 : addition et multiplication
$ 5+2×3$ Multiplication avant addition, on calcul d'abord le produit : $2×3=6$
Ensuite on additionne : $5+6=11$
Exemple 3 : Avec parenthèses
$(5+2)×3$ On résout d'abord la parenthèse : $5+2=7$
Puis la multiplication : $7×3=21$.
Exemple 4 : Avec exposant
$4+3^2$ On calcule l'exposant d'abord : $3^2=9$
Puis l'addition : $4+9=13$.
Exemple 5 : Expression complète
$6+2.(5−3)^2$
Parenthèses : $5−3=2$
Exposant :$2^2=4$
Multiplication : $2×4=8$
Addition : $6+8=14$.
Toujours commencer par les parenthèses.
Calculer ensuite les exposants.
La multiplication et la division, puis l'addition et la soustraction, se font de gauche à droite si elles sont sur le même niveau.
Respecter cet ordre évite les erreurs de calcul.
Par exemple, $3 \times 4 / 3 \times 4$ ne vaut pas un.
Points clés à retenirLes réponses :
$A =4(2x-3)-2(3x-1)\\ =8x-12 -6x+2\\ =2x-10\\ =2(x-5) $Simplifier l'intérieur : \(2x-(x+4)=2x-x-4=x-4\).
Puis multiplier : \(-3(x-4)=-3x+12\).
Premièrement on calcule : : \(-2(-x+1)=-2(-x)-2 .1=2x-2\).
Puis on calcule : : \(3x.(-x+1)=-3x^2+3x\).
Puis ajouter les monômes dans la parenthèse : \(-3x^2+3x +2x-2 = -3x^2+5x-2\).
On multiplie le tout par $2x$ pour finir : $2x(-3x^2+5x-2) =-6x^3+10x^2-4x.
$$ C = =-6x^3+10x^2-4x $$
D'abord traiter la parenthèse intérieure : $$ - (x-5) = -x+5 $$ Donc $$ 3x + (-x+5)=3x-x+5=2x+5 $$ Enfin multiplier par 2 : \(2(2x+5)=4x+10\).
Connaître ses tables par cœur est la base, au moins jusqu'à douze. Et des règles de calculs, comme par exemple les carrés de nombre se terminant par 5, la multiplication par $11$, ...
Tout d'abord, on va rappeler ce que sont les nombres premiers.
La décomposition en facteurs premiers consiste à écrire un nombre entier comme le produit de nombres premiers. Voici une explication progressive avec des exemples pour bien comprendre la méthode.
Maintenant on appelle facteur premier est un nombre premier qui divise exactement un nombre donné. Par exemple, 2, 3, 5, 7, 11 sont des nombres premiers.
Diviser par le plus petit nombre premier possible (commencez par 2, puis 3, 5, etc.).
Répétez la division avec le quotient obtenu tant qu'il est divisible par un nombre premier.
Arrêtez-vous quand le résultat n'est plus divisible, ou que le quotient devient un nombre premier lui-même.
Exemples progressifs
Exemple 1 :$ 12$ $$ 12 ÷ 2 = 6 $$ $$ 6 ÷ 2 = 3 $$
$3$ est un nombre premier, donc on s'arrête.
Décomposition de $12$ : $12=2×2×3$.
Exemple 2 : $36$ $$ 36 ÷ 2 = 18 $$ $$ 18 ÷ 2 = 9 $$ 9 n'est plus divisible par 2, essayons 3. $$ 9 ÷ 3 = 3 $$ 3 est premier, on s'arrête. Décomposition : $36=2×2×3×3$.
Exemple 3 : $210$ $$ 210 ÷ 2 = 105 $$ $$ 105 ÷ 3 = 35 $$ $$ 35 ÷ 5 = 7 $$ $7$ est premier. Finalement : $210=2×3×5×7$.
Exemple 4 : 144 $$ 144 ÷ 2 = 72 $$ $$ 72 ÷ 2 = 36 $$ $$ 36 ÷ 2 = 18 $$ $$ 18 ÷ 2 = 9 $$ $$ 9 ÷ 3 = 3 $$ $$ 3 ÷ 3 = 1 $$ Donc $144=2×2×2×2×3×3$.
Remarques :
La décomposition en facteurs premiers est unique. L'ordre ne compte pas. Conventionnellement on va souvent noter les facteurs premiers par ordre croissant. il n'est pas interdit de les écrire dans l'ordre décroissant. L'idée est d'avoir une écriture qui soit rapidement lisible. Les écrire en ordre croissant est toutefois la méthode naturelle.
Elle est utile pour ne pas dire nécessaire si on veut simplifier des fractions ou chercher le PGCD ou encore simplifier les racines.
De l'infiniment petit à l'infiniment grand. L'échelle de Planck, quelques ordres de grandeurs:
Une approche du SI des mesures : masse des objets, taille, surface, volumes et un peu d'analyse dimensionnelle.
Savoir passer d'un ordre de grandeur à un autre.
Combien fait une année lumière en kilomètres?
Une année lumière représente le trajet fait par la lumière pendant une année.La lumière dans le vide se déplace à près de 300 000 km/s.
Donc dans une année on a $365 \times 24 \times 3600$ secondes, soit $31 536 000 \, s$.
Par seconde la lumière parcourant $300 000$ km/s on multiplie cette vitesse par le nombre de secondes que font une année : $$ 300 000 \times 31 536 000= 9 460 800 000 000 $$ Donc environ $9,5$ milliers de milliards de kilomètres.
En notation scientifique : $ 9,4608. 10^{12}$.
Que valent 5 pieds en mètres à deux décimales près?
Un pieds vaut $30,48$ cm. Donc $5$ pieds font $5 \times 30,48 = 152,40$. La réponse est $152.4$ $c$m.
A quelle distance en secondes lumière est la lune dela terre?
La lune est en moyenne à $384 400$ km.Pour calculer en combien de secondes on parcourt cette distance, on doit diviser la distance terre lune par la vitesse de la lumière: $$ 384 400 / 300 000 = 1,281333 $$ Donc à la vitesse de la lumière on va sur la lune en 1,281 secondes. Il faut juste bien s'accrocher pour l'accélération initiale.
Combien de temps prendrai le voyage vers Bételgeuse à 45 km/s
A quelle distance se trouve Bételgeuse? A peut près à 642,5 années lumière. Ce qui signifie pour rappel la distance que parcourt la lumière en 642,5 années.
Donc calculons la distance : $ 642,5 \times 365 \times 24 \times 3600 \times 300 000 = 6 106 946 400 000 000$ km
Donc, en combien de secondes parcourt-on $6 106 946 400 000 000$ km à $45$ km/s? $$ 6 106 946 400 000 000 / 45 = 135 709 920 000 000 $$ Donc $135 709 920 000 000$ secondes, soit plus de 4 millions d'années... L'humanité est loin de sortir du système solaire!
Je suis en planeur, à 90km/h, je mets 7 minutes à rejoindre un nuage. A quelle distance était-il?
La question revient à savoir quelle distance on parcourt en une minute à 90 km/h.
On fait 90km en une heure, donc 90km en 60 minutes. 7 minutes représente $7/60$ de $60$ minutes. Donc la distance parcourue est proportionnelle: $$ 90 \times 7/60 = 10.5 $$ On a donc parcouru $10.5$ km pendant ces $7$ minutes. Ce qui représente la distance parcourue pour rejoindre mon nuage.
On pourrait maintenant poser la question de calculer la perte d'altitude totales pour ce parcours. Si on admet que le taux de chute est de $1.2$ m/s.
7 minutes représentent $420$ secondes. $420 \times 1.2 = 504$. On a perdu $504$ mètres.
Je suis en parachute. Je chute à 5m/s. Depuis une hauteur de 2500 mètres. Un vent de travers de 12 m/s souffle en continu tout le long de la chute. Quelle distance horizontale ais-je parcouru?
La question contient plusieurs informations, mais pas directement la manière de calculer cette distance. La question est de savoir sachant une vitesse donnée, quelle distance on a parcouru. Pour ce faire, on doit avoir une durée pendant laquelle on était à $12\, m/s$, pour pouvoir calculer cette distance.Et quelle est cette durée? Le temps de la chute sur $2500 \, m$. C'est donc ce que l'on doit calculer en premier.
Si on chute sur $2500 \, m$ à $5 \, m/s$ alors pour obtenir la durée, l'opération à réaliser est $2500 / 5$ ce qui donne 500. Reste à savoir l'unité : les secondes. On met donc $500$ scondes pour tomber de $2500$ m à $5 m/s$.