La symétrie axiale est une transformation géométrique qui consiste
à « réfléchir » une figure par rapport à une droite appelée axe de symétrie.
Intuitivement :
l'axe est comme un miroir,
chaque point et son image sont à la même distance de l'axe,
le segment reliant un point à son image est perpendiculaire à l'axe.
Nous allons maintenant traduire cette idée géométrique en formules
algébriques à l'aide des coordonnées cartésiennes.
1. Définition générale
La symétrie axiale d'axe \((d)\) est la transformation qui, à tout point
\(M\), associe un point \(M'\) tel que :
le milieu de \([MM']\) appartient à la droite \((d)\),
la droite \((d)\) est perpendiculaire à \([MM']\).
2. Symétrie par rapport à l'axe des abscisses
Considérons le point \(M(x,y)\).
La symétrie axiale par rapport à l'axe des abscisses transforme :
\[
(x,y) \longmapsto (x,-y).
\]
Exemple.
\(M(3,2) \rightarrow M'(3,-2)\)
\(M(-1,-4) \rightarrow M'(-1,4)\)
👉 L'abscisse est conservée, seule l'ordonnée change de signe.
3. Symétrie par rapport à l'axe des ordonnées
La symétrie axiale par rapport à l'axe des ordonnées transforme :
\[
(x,y) \longmapsto (-x,y).
\]
Exemple.
\(M(5,-1) \rightarrow M'(-5,-1)\)
\(M(-2,3) \rightarrow M'(2,3)\)
👉 L'ordonnée est conservée, seule l'abscisse change de signe.
4. Symétrie par rapport à la droite \(y = x\)
La droite \(y = x\) échange les rôles de l'abscisse et de l'ordonnée.
\[
(x,y) \longmapsto (y,x).
\]
Exemple.
\(M(2,5) \rightarrow M'(5,2)\)
\(M(-1,4) \rightarrow M'(4,-1)\)
5. Symétrie par rapport à la droite \(y = -x\)
\[
(x,y) \longmapsto (-y,-x).
\]
Exemple.
\(M(3,1) \rightarrow M'(-1,-3)\)
6. Symétrie par rapport à une droite verticale \(x = a\)
Considérons la droite verticale d'équation \(x = a\).
\[
(x,y) \longmapsto (2a - x, y).
\]
Exemple.
Symétrie par rapport à \(x=1\) :
\[
(4,2) \rightarrow (-2,2)
\]
7. Symétrie par rapport à une droite horizontale \(y = b\)
\[
(x,y) \longmapsto (x, 2b - y).
\]
Exemple.
Symétrie par rapport à \(y=-1\) :
\[
(3,4) \rightarrow (3,-6)
\]
8. Cas général (hors programme mais éclairant)
Pour une droite d'équation générale \(ax + by + c = 0\),
la formule de symétrie peut s'écrire :
\[
M'(x',y') =
\left(
x - 2a\frac{ax+by+c}{a^2+b^2},
\;
y - 2b\frac{ax+by+c}{a^2+b^2}
\right).
\]
9. Propriétés importantes
La symétrie axiale conserve les longueurs.
Elle conserve les angles.
Elle transforme une droite en une droite.
Appliquer deux fois la même symétrie redonne le point initial.
10. Exercices
Calculer l'image de \(A(2,-3)\) par la symétrie d'axe des abscisses.
Déterminer l'image de \(B(-1,4)\) par la symétrie d'axe \(x=2\).
Soit \(C(3,5)\). Trouver son symétrique par rapport à \(y=x\).
Vérifier que la symétrie conserve la distance entre deux points.
Conclusion
La symétrie axiale est une transformation géométrique simple,
mais puissante.
Grâce aux coordonnées cartésiennes, elle devient un outil
de calcul efficace et rigoureux.
Symétrie centrales dans le plan
Préambule : idée géométrique
La symétrie centrale est une transformation géométrique qui consiste
à faire un demi-tour autour d'un point appelé centre de symétrie.
Intuitivement :
on "retourne" la figure de 180°,
le centre est le milieu entre chaque point et son image,
les points sont envoyés "de l'autre côté" du centre.
Contrairement à la symétrie axiale (miroir), la symétrie centrale est une
rotation de 180°.
1. Définition
La symétrie centrale de centre \(O\) est la transformation qui, à tout point
\(M\), associe un point \(M'\) tel que :
\(O\) est le milieu du segment \([MM']\)
Autrement dit :
\[
\vec{OM'} = -\vec{OM}.
\]
2. Cas simple : centre à l'origine
Soit le centre \(O(0,0)\) et un point \(M(x,y)\).
\[
(x,y) \longmapsto (-x,-y)
\]
Exemples :
\(M(2,3) \rightarrow M'(-2,-3)\)
\(M(-4,1) \rightarrow M'(4,-1)\)
👉 On change le signe des deux coordonnées.
3. Centre quelconque \(C(a,b)\)
Soit le centre de symétrie \(C(a,b)\) et un point \(M(x,y)\).
Exemple : si les côtés mesurent 3, 4, 5 et 6 unités :
