cosinus sinus et tangente vues analytiquement et géométriquement
CollègeEn mécanique on étudie le mouvement des choses et les forces qui peuvent leurs être appliquées. Concrètement ici nous allons prendre un exemple concret en calculant la forcé nécessaire à un véhicule pour en tracter un autre
A partir de ce système on peut définir un modèle mathématiques représentant les acteurs en jeu et leurs interactions.
On représente ici uniquement les vecteurs en jeu : le vecteur résistance $\vec{F}$ et le vecteur traction $\vec{T}$.
En mathématiques on aime pouvoir mettre en relation, comparer différentes sortes de mesures et de normes. Dans le cas de la trigonoémtrie, ce domaineest plus souvent mal aimé que vénéré.
Cette technologie purement intellectuelle permet de comparer angles et longueurs. Pour ce faire on se place dans un triangle rectangle:
Dans ce triangle on choisit le point $C$ par exemple avec l'angle formé par les deux coté $CB$ et $CA$. On l'appelle $a$.
Donc on considère cet angle que l'on appelle $a$.
Dans ce rectangle soient les longueurs: $CB$ et $CA$. Si on calcule le rapport du coté le plus long (l'hypoténuse) sur l'autre, soit :$\dfrac{CA}{CB}$, alors on a ce que l'on appelle le cosinus de l'angle.
Autrement dit le cosinus est un rapport de longueur.
Pour le calciul d'un cosinus, à l'aide de rapports de longueurs, oon doit impérativement se placer dans un triangle rectangle.
De la même manière on peut définir le sinus, qui lui sera le rapport de $BC$ sur $CA$.
Plus généralement on a :
Dans le triangle rectangle on le définit comme le rapport du coté adjacent avec l'hypoténuse. Ces deux cotés forment un angle, que l'on appelle $\alpha$. On trouve le cosinus dde l"angle par le rapport suivant : $$ \dfrac{\text{Coté adjacent}}{\text{Hypoténuse}} $$ Ou encore schématiquement, on regarde l'angle $\widehat{BCA} $ :
Le sinus est lui définit par un autre rapport: celui de la longueur du coté opposé à l'angle sur la longueur de l'hypoténuse.
La tangente est un autre rapport de longueur mettant en jeu coté opposé et coté adjacent: c'est le rapport des deux : $$ \tan \alpha = \dfrac{\sin \alpha }{\cos \alpha} = \dfrac{\textbf{coté opposé de} \alpha }{\textbf{coté adjacent de} \alpha} $$
On voit tout ça plus en détail dans la page suivante