Trigonométrie : formulaire
Du cercle trigonométrique au niveau classes préparatoires
1. Angles et cercle trigonométrique
Radians
\[ \pi\ \text{rad} = 180^\circ \qquad \theta=\frac{\ell}{R} \] \[ \ell = R\theta \qquad \mathcal{A}_{\text{secteur}}=\tfrac12 R^2\theta \]Définition
\[ M(x)=(\cos x\,;\sin x) \in \mathcal{C},\qquad x\equiv y\ [2\pi]\iff x-y\in 2\pi\mathbb{Z} \]Relation fondamentale
\[ \cos^2x+\sin^2x=1 \qquad\quad |\cos x|\le 1,\ |\sin x|\le 1 \]2. Valeurs remarquables
| \(x\) | \(0\) | \(\frac{\pi}{12}\) | \(\frac{\pi}{10}\) | \(\frac{\pi}{8}\) | \(\frac{\pi}{6}\) | \(\frac{\pi}{5}\) | \(\frac{\pi}{4}\) | \(\frac{\pi}{3}\) | \(\frac{\pi}{2}\) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(\cos x\) | \(1\) | \(\frac{\sqrt6+\sqrt2}{4}\) | \(\frac{\sqrt{10+2\sqrt5}}{4}\) | \(\frac{\sqrt{2+\sqrt2}}{2}\) | \(\frac{\sqrt3}{2}\) | \(\frac{1+\sqrt5}{4}\) | \(\frac{\sqrt2}{2}\) | \(\frac12\) | \(0\) |
| \(\sin x\) | \(0\) | \(\frac{\sqrt6-\sqrt2}{4}\) | \(\frac{\sqrt5-1}{4}\) | \(\frac{\sqrt{2-\sqrt2}}{2}\) | \(\frac12\) | \(\frac{\sqrt{10-2\sqrt5}}{4}\) | \(\frac{\sqrt2}{2}\) | \(\frac{\sqrt3}{2}\) | \(1\) |
| \(\tan x\) | \(0\) | \(2-\sqrt3\) | · | \(\sqrt2-1\) | \(\frac{\sqrt3}{3}\) | · | \(1\) | \(\sqrt3\) | – |
Mnémo : \(\sin\) de \(0,\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{2}\) vaut \(\frac{\sqrt0}{2},\frac{\sqrt1}{2},\frac{\sqrt2}{2},\frac{\sqrt3}{2},\frac{\sqrt4}{2}\) ; le cosinus se lit à l'envers.
3. Parité, périodicité, angles associés
Parité et périodes
\[ \cos(-x)=\cos x \qquad \sin(-x)=-\sin x \qquad \tan(-x)=-\tan x \] \[ \cos,\sin : 2\pi\text{-périodiques} \qquad \tan : \pi\text{-périodique} \]Cotangente
\[ \tan x=\frac{\sin x}{\cos x} \qquad \cot x=\frac{\cos x}{\sin x}=\frac1{\tan x} \] \[ 1+\tan^2x=\frac1{\cos^2x} \qquad 1+\cot^2x=\frac1{\sin^2x} \]| \(-x\) | \(\pi-x\) | \(\pi+x\) | \(\frac\pi2-x\) | \(\frac\pi2+x\) | |
|---|---|---|---|---|---|
| \(\cos\) | \(\cos x\) | \(-\cos x\) | \(-\cos x\) | \(\sin x\) | \(-\sin x\) |
| \(\sin\) | \(-\sin x\) | \(\sin x\) | \(-\sin x\) | \(\cos x\) | \(\cos x\) |
| \(\tan\) | \(-\tan x\) | \(-\tan x\) | \(\tan x\) | \(\frac1{\tan x}\) | \(-\frac1{\tan x}\) |
4. Addition et duplication
Formules d'addition
\[ \cos(a\pm b)=\cos a\cos b\mp\sin a\sin b \] \[ \sin(a\pm b)=\sin a\cos b\pm\cos a\sin b \] \[ \tan(a\pm b)=\frac{\tan a\pm\tan b}{1\mp\tan a\tan b} \]Duplication
\[ \sin2a=2\sin a\cos a \] \[ \cos2a=\cos^2a-\sin^2a=2\cos^2a-1=1-2\sin^2a \] \[ \tan2a=\frac{2\tan a}{1-\tan^2a} \]Triplication
\[ \cos3a=4\cos^3a-3\cos a \] \[ \sin3a=3\sin a-4\sin^3a \] \[ \tan3a=\frac{3\tan a-\tan^3a}{1-3\tan^2a} \]Polynômes de Tchebychev
\[ \cos(nx)=T_n(\cos x),\quad T_0=1,\ T_1=X,\ T_{n+1}=2XT_n-T_{n-1} \] \[ \sin(nx)=\sin x\ U_{n-1}(\cos x) \]5. Linéarisation, somme et produit, angle moitié
Linéarisation
\[ \cos^2a=\frac{1+\cos2a}{2} \qquad \sin^2a=\frac{1-\cos2a}{2} \] \[ \cos^3a=\frac{\cos3a+3\cos a}{4} \qquad \sin^3a=\frac{3\sin a-\sin3a}{4} \]Produit → somme
\[ \cos a\cos b=\tfrac12\left[\cos(a-b)+\cos(a+b)\right] \] \[ \sin a\sin b=\tfrac12\left[\cos(a-b)-\cos(a+b)\right] \] \[ \sin a\cos b=\tfrac12\left[\sin(a+b)+\sin(a-b)\right] \]Somme → produit
\[ \cos p+\cos q=2\cos\frac{p+q}2\cos\frac{p-q}2 \qquad \cos p-\cos q=-2\sin\frac{p+q}2\sin\frac{p-q}2 \] \[ \sin p+\sin q=2\sin\frac{p+q}2\cos\frac{p-q}2 \qquad \sin p-\sin q=2\cos\frac{p+q}2\sin\frac{p-q}2 \]Paramétrage \(t=\tan\frac x2\)
\[ \cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2}\qquad \sin x=\frac{2t}{1+t^2}\qquad \tan x=\frac{2t}{1-t^2} \]Angle moitié
\[ \tan\frac x2=\frac{\sin x}{1+\cos x}=\frac{1-\cos x}{\sin x} \] \[ \cos^2\tfrac x2=\frac{1+\cos x}2 \qquad \sin^2\tfrac x2=\frac{1-\cos x}2 \]Forme sinusoïdale
\[ a\cos x+b\sin x=R\cos(x-\varphi),\quad R=\sqrt{a^2+b^2},\ \cos\varphi=\frac aR,\ \sin\varphi=\frac bR \]6. Équations et inéquations
Équations de base (\(k\in\mathbb{Z}\))
\[ \cos x=\cos a\iff x=\pm a+2k\pi \] \[ \sin x=\sin a\iff x=a+2k\pi\ \text{ ou }\ x=\pi-a+2k\pi \] \[ \tan x=\tan a\iff x=a+k\pi \]Cas particuliers
\[ \cos x=0\iff x=\tfrac\pi2+k\pi \qquad \sin x=0\iff x=k\pi \] \[ \cos x=1\iff x=2k\pi \qquad \sin x=1\iff x=\tfrac\pi2+2k\pi \]Résolution de \(a\cos x+b\sin x=c\)
\[ \text{solutions}\iff |c|\le\sqrt{a^2+b^2} \] \[ \cos(x-\varphi)=\frac{c}{R} \]Inéquations : se placer sur un tour de cercle, lire l'arc, puis ajouter \(2k\pi\).
7. Analyse
Dérivées
\[ \sin'=\cos \qquad \cos'=-\sin \] \[ \tan'=1+\tan^2=\frac1{\cos^2} \] \[ (\sin u)'=u'\cos u \qquad (\cos u)'=-u'\sin u \]Primitives
\[ \int\cos=\sin \qquad \int\sin=-\cos \] \[ \int\tan x\,dx=-\ln|\cos x| \] \[ \int\frac{dx}{\cos^2x}=\tan x \]Limites usuelles en 0
\[ \lim_{x\to0}\frac{\sin x}x=1 \qquad \lim_{x\to0}\frac{\tan x}x=1 \] \[ \lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x^2}=\frac12 \]Inégalités
\[ |\sin x|\le|x| \qquad \cos x\ge1-\tfrac{x^2}2 \] \[ \tfrac{2}{\pi}x\le\sin x\le x\quad\text{sur }\left[0,\tfrac\pi2\right] \ \text{(Jordan)} \]Développements limités en 0
\[ \sin x=x-\frac{x^3}{6}+\frac{x^5}{120}+o(x^5) \qquad \cos x=1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}+o(x^4) \] \[ \tan x=x+\frac{x^3}{3}+\frac{2x^5}{15}+o(x^5) \] \[ \sin x=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!} \qquad \cos x=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!} \]8. Fonctions réciproques
Définitions
\[ \arcsin:[-1,1]\to\left[-\tfrac\pi2,\tfrac\pi2\right] \] \[ \arccos:[-1,1]\to[0,\pi] \] \[ \arctan:\mathbb{R}\to\left]-\tfrac\pi2,\tfrac\pi2\right[ \]Dérivées
\[ \arcsin'(x)=\frac1{\sqrt{1-x^2}} \quad \arccos'(x)=\frac{-1}{\sqrt{1-x^2}} \] \[ \arctan'(x)=\frac1{1+x^2} \]Relations
\[ \arcsin x+\arccos x=\frac\pi2 \qquad (x\in[-1,1]) \] \[ \arctan x+\arctan\frac1x=\operatorname{sgn}(x)\,\frac\pi2 \quad (x\ne0) \] \[ \arcsin(-x)=-\arcsin x \qquad \arctan(-x)=-\arctan x \]Compositions
\[ \cos(\arcsin x)=\sin(\arccos x)=\sqrt{1-x^2} \] \[ \sin(\arctan x)=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}} \quad \cos(\arctan x)=\frac1{\sqrt{1+x^2}} \] \[ \arcsin(\sin x)=x \ \text{ssi } x\in\left[-\tfrac\pi2,\tfrac\pi2\right] \]Somme d'arctangentes (modulo \(\pi\))
\[ \arctan a+\arctan b\equiv\arctan\frac{a+b}{1-ab}\ [\pi] \]9. Nombres complexes
Euler
\[ e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta \] \[ \cos\theta=\frac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}2 \qquad \sin\theta=\frac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i} \]Moivre
\[ (\cos\theta+i\sin\theta)^n=\cos n\theta+i\sin n\theta \] \[ e^{i(a+b)}=e^{ia}e^{ib}\ \Rightarrow\ \text{formules d'addition} \]Factorisation par l'angle moitié
\[ 1+e^{i\theta}=2\cos\frac\theta2\,e^{i\theta/2} \] \[ 1-e^{i\theta}=-2i\sin\frac\theta2\,e^{i\theta/2} \] \[ e^{ia}+e^{ib}=2\cos\frac{a-b}2\,e^{i(a+b)/2} \]Racines \(n\)-ièmes de l'unité
\[ \omega_k=e^{2ik\pi/n},\quad k=0,\dots,n-1 \] \[ \sum_{k=0}^{n-1}\omega_k=0\quad(n\ge2) \]Binôme de Newton
\[ \cos^nx=\frac1{2^n}\sum_{k=0}^n\binom nk\cos\big((n-2k)x\big) \] \[ \cos nx=\operatorname{Re}\big[(\cos x+i\sin x)^n\big] \]Sommes trigonométriques
\[ \sum_{k=0}^{n}\cos k\theta=\frac{\sin\frac{(n+1)\theta}2}{\sin\frac\theta2}\cos\frac{n\theta}2 \] \[ \sum_{k=0}^{n}\sin k\theta=\frac{\sin\frac{(n+1)\theta}2}{\sin\frac\theta2}\sin\frac{n\theta}2 \]Lien avec les fonctions hyperboliques
\[ \cos(ix)=\cosh x \qquad \sin(ix)=i\sinh x \qquad \cosh^2x-\sinh^2x=1 \]10. Triangle quelconque \(ABC\)
Notations : \(a=BC\), \(b=CA\), \(c=AB\) ; \(R\) rayon du cercle circonscrit ; \(r\) rayon du cercle inscrit ; \(p=\frac{a+b+c}2\).